Frage von fenster13, 62

Verstehe diese Matheaufgabe nicht, Quadratische Funktion?

Moin Moin,

sitze gerade an einer Matheaufgabe und komme einfach nicht weiter!

Von einer Parabel sind bekannt: XN1 = 3 und XN2 = -3 Der Schnittpunkt mit der Y-Achse liegt bei 13.5

Wie lautet die Gleichung der Parabel? Wie lautet die Gleichung der Tangente im Punkt P(0/XN2)?

Ist der Schnittpunt = Scheitelpunkt der Parabel?

Danke für die Mühe

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 11

Parabel:    ax² + bx + c = y          Bei Steckbriefaufgaben nehme ich immer
Ableitung:  2ax + b        = y'         diese Reihenfolge. Rechnung ist bequemer.

N1(3|0):    9a  + 3b + c = 0
N2(-3|0)    9a  - 3b  + c = 0
D(0|13,5):   0  + 0   + c = 13,5   

Mit c = 13,5 reduzieren sich diese 3 auf 2 Gleichungen:

9a  + 3b  = -13,5
9a  -  3b  = -13,5

Addiert: 18a = -27
                a = -1,5

Für b:   9 * (-1,5) + 3b = -13,5
                             3b = 0

Damit ist     a = -1,5      b = 0       c = 13,5
Die quadratische Gleichung heißt:                     f(x) = -1,5 x² + 13,5 

Die Tangente ergibt sich aus y'(-3). y' ist die Steigung m.

y'(-3) = 2 * (-1,5) * (-3)
    m  = 9

Da Kurve und Tangente den gemeinsamen Punkt (-3|0) haben; gilt:
t(x) = mx + d
0 = 9 * (-3) + d
d = 27

t(x) = 9x + 27         ist die Gleichung der Tangente

Der Schnittpunkt ist aus der Voraussetzung heraus natürlich nicht der Scheitelpunkt der Parabel, sondern eine der zwei Nullstellen. Bei zwei getrennten Nullstellen kann nicht eine der Scheitelpunkt sein.

Falls jemand der Scheitelpunkt interessiert:
x ist natürlich 0, y ist dann 13,5

S(0|13,5)

Es könnte ja noch sein, dass die Tangente ihn trifft, wenn Ostern und Pfingsten auf einen Tag fallen.
Ist S ein Punkt der Tangente?
13,5 = 9 * 0 + 27   ???    Das wird wohl nichts!

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 42

Sollen XN1 und XN2 die Nullstellen sein?

Kommentar von keycrime ,

ja also die Funktion hat 2 Nullstellen

Kommentar von MeRoXas ,

Gut. Bei einer Parabel sind die beiden Nullstellen gleich weit vom Scheitelpunkt entfernt. Der Scheitelpunkt liegt also zwischen -3 und 3, nämlich bei x=0.


Eine Parabel hat die allgemeine Form f(x)=ax²+bx+c

c ist der y-Achsenabschnitt (hier Schnittpunkt mit der y-Achse genannt). Er beträgt 13.5.

Die Form unserer Parabel lautet also f(x)=ax²+bx+13.5


Nun kennen wir zwei Punkte, die die Parabel besitzt. Da wir nur zwei Unbekannte Faktoren haben, reichen diese Punkte also aus.

Wir stelle zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf.


Aus XN1=3 folgt f(3)=0, also

I. a*3²+b*3+13.5=0

Aus XN1=-3 folgt f(-3)=0, also

II. a*(-3)^2+b*(-3)+13.5=0


Ausgerechnet ergeben sich die folgenden Gleichungen:

I. 9a+3b+13.5=0

II. 9a-3b+13.5=0


Dieses Gleichungssystem kannst du mit einem, von dir gewählten, Verfahren lösen. Wenn man ganz geschickt ist, erkennt man direkt den Wert von b.

Kommentar von fenster13 ,

Super und wie komme ich auf die Gleichung der Tangente, weißt du das zufällig auch?

Kommentar von MeRoXas ,

Ist dir der Begriff der Ableitung bekannt?

Kommentar von fenster13 ,

Die erste Ableitung hatten wir mal in der Schule kurz angesprochen.

Kommentar von MeRoXas ,

Mithilfe der Ableitung kannst du die Steigung in einem Punkt ermitteln.

f'(3) gibt zum Beispiel die Steigung im Punkt 3 an.

Damit du eine Tangente an einen Punkt anlegen kannst, brauchst du nämlich einmal den Funktionswert des Punktes und seine Steigung.

Dann gilt:

f(x)=g(x)   (g(x) ist Tangente an XN2)

f'(x)=g'(x)

Du ermittelst die Steigung und setzt sie mit der Tangentensteigung m gleich. Dann setzt du die x und y-Koordinate des Punktes ein und ermittelst den Parameter n (oder wie der bei euch heißt). Dann hast du die Tangente.

Kommentar von xoxox666 ,

Korrekt. Ergänzung: Mit gutem Blick erkennt man auch ohne Rechnen, dass die Parabel nach unten geöffnet sein muss. Der Scheitelpunkt kann keinen positiven x-Wert haben und gleichzeitig die x-Achse schneiden. Somit muss a negativ sein.

Kommentar von MeRoXas ,

Exakt. Das kann man ja zur Kontrolle seines Ergebnisses nehmen.

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