Frage von ZyrranM, 30

Verständnisfrage zur punktweisen Konvergenz?

Hallo, ich hatte neulich die Aufgabe einen Funktionenfolge f_n(x) auf Konvergenz zu untersuchen. Es spielt jetzt erstmal keine Rolle wie diese Folge aussieht, ich habe folgendes gemacht:

Sei f die Grenzfunktion als lim n-> unendlich von f_n(x).

Dann soll ja gelten | f_n(x) - f | < epsilon.

Jedenfalls konnte ich den Ausdruck | f_n(x) - f | wie folgt abschätzen:

| f_n(x) - f | <= ... <= ... <= 6|x|

Ich hätte jetzt gesagt, daraus folgt f_n(x) ist nicht punktweise konvergent, da 6|x| nicht für alle x kleiner als epsilon ist.

Falls es jemanden Interessiert:

Die Folge ist die 45 d) bei folgendem Blatt: http://www.math.lmu.de/~handrek/Uebungen/U_Blatt12.pdf

LG,

ZyrranM

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 25

Das funktioniert so leider nicht. Wenn du gezeigt hättest, dass |f_n(x) - f(x)| größergleich 6|x| ist, wäre das in Ordnung. Aber kleinergleich reicht leider nicht. Ein ganz blödes Beispiel:

Angenommen, f_n = f_(n+1) für alle natürlichen Zahlen n. Dann ist 

|f_n(x) - f(x)| = 0 für jedes n, für jedes x. Insbesondere gilt für alle eps>0:

|f_n(x) - f(x)| < eps.

ABER: Sei x eine reelle Zahl. Dann gilt: 

|f_n(x) - f(x)| = 0 <= 6|x|. D.h. deine Folgerung wäre in diesem Fall nicht korrekt.

Antwort
von iokii, 14

Du willst zeigen, dass irgendetwas klein ist, und findest heraus, dass es kleiner als irgendetwas großes ist. Daraus folgerst du, dass es nicht klein ist.

...

Wenn du in der Hausaufgabe den Hinweis benutzt und x aus der Summe rausziehst, kannst du es mit der Geometrischen Reihe abschätzen, und damit Punktweise Konvergenz zeigen.

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