Vereinfachung Kosinus für kleine Winkel?

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4 Antworten

deine letzte Vermutung ist richtig: es handelt sich um eine Reihenentwicklung, und diese wird genauer, je mehr Terme man hinzunimmt. Mit nur dem ersten Summanden (=1) ist das Ergebnis halt ungenauer als mit zusätzlich noch dem zweiten (-alpa^2/2) und noch genauer (besonders wenn Alpha ungleich 0) wird es mit den weiteren Summanden. 

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Dies geht mit der "Mac Laurin´sche Reihe 

f(x)=f(0)+f´(0)/1! * x + f´´(0)/2! * x^2 mit f(x)=cos(x) f´(x)=- sin(x) f´´(x)=- cos(x

sin(0)=0 und cos(0)=1 ergibt

cos(x)= 1- 0 * x - 1/2! * x^2=1 - 1/2 *x^2 hier ist 2!=2

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Oder hat obrige Lösung lt. Taylor-Reihenentwicklung einfach eine etwas höhere Genauigkeit?

Genau dies.

cos(x) = 1 - 1/2! x^2 + 1/4! x^4 - 1/6! x^6 +- ...

vermutlich würde die Näherung cos(x) = 1 + O(x²) in der gegebenen Aufgabe verschwinden, sodass cos(x) = 1 - 1/2 x² + O(x⁴) die erste nichtverschwindende Näherungsordnung ist.

( O(x^n) bedeutet einen Restterm von wenigstens der Ordnung x^n )

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Das sind alles Reihenentwicklungen.

Das gibt es nicht nur für Cosinus, sondern auch für Sinus und Tangens.

Schaue mal auf diese Webseite -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinwinkeln%C3%A4herung

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