Frage von johnhopp, 46

Vektorrechnung (Ebene,Gerade)?

Ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur in Unterbringung. Meine Parallelklasse hatte in ihrer Klausur eine Aufgabe in der sie eine Gerade durch den Ursprung konstruieren sollten, die eine bestimmte Ebene in einem 30° Winkel schneidet. Meine Frage ist jetzt, ob jemand eine Formel dafür kenn.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 20

Dass die Gerade durch den Ursprung verläuft, macht es einfacher, denn dann benötigt nicht noch einen zusätzlichen Ortsvektor. Was die Ebene betrifft, so gibt es unendlich viele Möglichkeiten, sie in einem 30°-Winkel zu schneiden.

Beispielsweise die x-y-Ebene: Alle Vektoren mit x²+y²=3/4 und z=½ schneiden die x-Y-Ebene im 30°-Winkel.

Kommentar von johnhopp ,

Könntest du mir das noch einmal kurz erläutern ?

Kommentar von SlowPhil ,

Was genau? Die Geradengleichung, dass die bei einer Geraden durch den Ursprung keinen Ortsvektor braucht oder dass und warum es unendlich viele Geraden gibt, die eine bestimmte Ebene unter einem bestimmten Winkel schneiden?

Kommentar von johnhopp ,

Ich wollte wissen wie du auf die zahlen gekommen bist die du verwendet hast 
und was die vektoren miot zb. x y und z sind.
Siehst du das aus der Koordinatenform oder weclhe benutzt du ?

Kommentar von SlowPhil ,

Ich benutze erst mal kartesische Koordinaten, weshalb ich auch x,y und z schreibe. Diese Koordinaten haben den Vorzug, dass Koordinatendifferenzen unabhängig von den anderen Koordinaten sind.

Eine infinitesimale Verschiebung dx beispielsweise ist unabhängig von den Werten der Koordinaten y und z, und übrigens auch von x selbst.

Kommentar von SlowPhil ,

Du hast gesagt, die Gerade schneide eine Ebene unter einem 30°-Winkel, hast aber nicht dazu gesagt, was das für eine Ebene ist, wie sie liegt. Da hab' ich erst mal die x-y-Ebene oder, was dasselbe ist, die (z=0)-Ebene als Beispiel benutzt. Die Zahlen kommen durch die Information "30°", denn der Sinus von 30° ist ½, der Cosinus ist nach dem Satz des Pythagoras √{1² – sin²(30°)} = √{1 – ½²} = √¾. Eine Gerade, die z.B. durch κ(√¾; 0; ½), κ∈

R

definiert ist, schneidet die durch λ(1;0;0)+μ(0;1;0) definierte Gerade unter einem Winkel von 30°, da ihr Richtungsvektor mit (1;0;0) diesen Winkel bildet.

Kommentar von SlowPhil ,

Sorry für das scheußliche Layout des Kommentars. Ich bilde mir zwar ein, auf dem Handy einigermaßen übersichtlich geschrieben zu haben, aber wirklich kontrollieren kann ich das nicht.

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