Frage von Catiua, 22

Vektorprodukt - Verständnisfrage?

Hallo,

Laut Tabellenbuch ist der Betrag eines Vektorprodukts bzw. Kreuzprodukts ein Flächeninhalt. Jedoch habe ich gelernt, dass der Betrag eines Vektors eine Länge angibt. Daher meine Frage: Was stimmt denn nun und warum ist das so.

Danke im Voraus.

Antwort
von dersmue, 15

Das Ergebnis eines Kreuzprodukts zweier Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Seine Länge (Betrag) ist ein Mass für die Fläche des von den beiden aufgespannten Parallelogramms

Kommentar von Catiua ,

Danke für die Antwort, jedoch würde ich eine entsprechende herleitung haben wollen warum das so ist, denn deine Definition ist ja auch im Tabellenbuch vermerkt bzw. leicht im Internet zu finden.

Kommentar von dersmue ,

Definitionen zu begründen ist generell "problematisch".

Antwort
von eddiefox, 10

Hallo,

ich bestätige die Bemerkung von dersmue: man kann Definitionen nicht begründen, auch nicht herleiten, höchstens motivieren.

Eine mögliche Motivation (vielleicht nicht die beste...):

Man will aus zwei Vektoren einen dritten erzeugen, der auf den ersten beiden senkrecht steht. Deshalb muss man ihm irgendeine Länge geben. 

Warum nun gerade diese?

Nun, die Definition eines solchen Vektors soll so beschaffen sein, dass sie widerspruchsfrei und eindeutig ist und dass man mit ihr "gut rechnen" kann.

Die Definition des Kreuzprodukts erfüllt diese Forderungen.

Die Definition ist auch stetig in dem Sinn, dass wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b gegen Null geht, dann geht auch die Länge des Vektors a x b gegen Null. Fallen a und b zusammen, dann ist a x b der Nullvektor (der auf jedem Vektor senkrecht steht). Wenn einer der Vektoren, a oder b, länger oder kürzer wird, dann ist das auch für a x b der Fall.

Und was für schöne Eigenschaften das Kreuzprodukt hat, kann man den Formelsammlungen entnehmen.

Grüsse

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