Vektoren, Nachweis Winkel?

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2 Antworten

Zuerst stellst du fest, welches die längste Seite ist.
Aus der Differenz der jeweiligen Ortsvektoren (Ende - Anfang) errechnest du

Vektor <AB> = < 3 ; 1 ; 2 >      Länge AB = √(9 + 1 + 4) = √14
           <AC> = < 1 ; -1 ; -1 >             AC = √3
           <BC> = < -2 ; -2 ; -3>             BC = √17

Demnach ist BC die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
Ich prüfe das schnell mit dem Pythagoras:    14 + 3 = 17        Stimmt.

Nun weiß ich eigentlich schon, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Aber es soll ja vektoriell bewiesen werden. Daher bilde ich das Punktprodukt:

<AB> ● <AC> =  < 3 ; 1 ; 2 >  ●  < 1 ; -1 ; - 1 >  =  3 - 1 - 2  =  0

Siehe da, die Vektoren sind wirklich orthogonal.

Die Fläche bestimme ich aus der Tatsache, dass die Katheten sich gegenseitig zur Höhe haben:

A = ½√(14 * 3) = 0,5 * √42 = 3,24  F.E.

Die anderen entsprechend.

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Kommentar von bakic
20.05.2017, 13:38

Um die Fläche zu errechnen:

Grundfläche Betrag von Vektor AB = Wurzel 14

Mit dem Satz d. Pythagoras:
b^2 = Betrag BC - 1/2 • Wurzel 14
b = 1,5

Für die Fläche :
Wurzel 14 • 1,5 / 2 = 2,81 FE

Da ist doch irgendwo ein Fehler bei oder?

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Kommentar von bakic
21.05.2017, 13:46

Ich habe aber versucht die Höhe des Dreiecks zu berechnen. Wie kann man denn die Kathete einfach als die Höhe durchgehen lassen?

Wenn ich mit dem Satz des Pythagoras das machen will, komme ich auf b= 1,5

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Kommentar von bakic
22.05.2017, 14:53

Achso, alles klar. Jetzt weiß ich was Sie meinen. Danke!

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Stelle die Seitenvektoren und zeige dass zwei von ihnen senkrecht aufeinander stehen.

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