Vektoren in R3, wie lösen?

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2 Antworten

Die Seiten werden durch Vektoren dargestellt, nämlich durch die Differenzen der Ortsvektoren der jeweiligen Endpunkte.

D. h.  

  a = B - C  oder  a = C - B
  b = C - A  oder  b = A - C
  c = A - B  oder  c = B - A

A und B sind gegeben, damit ist auch c bekannt.

Rechter Winkel in A bedeutet, dass b und c senkrecht aufeinander stehen.

Wie du vermutlich weißt, bedeutet senkrecht stehen für Vektoren, dass das Skalarprodukt gleich 0 ist.

Für b ergibt sich, dass es eine zweiparametrige Schar von Vektoren b gibt, die senkrecht auf c stehen.

Wenn du einen von ihnen auswählst, ist  C = A + b  ein Punkt, für den das Dreieck Δ(A,B,C) rechtwinklig in A ist.

Entsprechend für den rechten Winkel in B.

Für den rechten Winkel in C ist es etwas schwieriger.

Hierzu nimmst du einen Vektor, der nicht senkrecht auf c steht, als Richtungsvektor für die Gerade, auf der z. B. b liegt. Eine Möglichkeit ist, den Vektor a von oben zu nehmen und r_b := a + c hierfür zu nehmen. Die Geradengleichung (für die Punkte P auf der Geraden)  P = A + λ * r_b  , wobei λ alle reellen Zahlen durchläuft.

Für die Seite a des Dreiecks fällst du das Lot vom Punkt B auf diese Gerade.

D. h. du suchst einen Vektor, der in B beginnt, in einem Punkt P mit P = A + λ * r_b endet und senkrecht auf r_b steht - das heißt, (P-B) ⊥ r_b

Dieses P nennst du C; damit ist das Dreieck Δ(A,B,C) rechtwinklig in C.

Für ein stumpfwinkliges Dreieck überlegst du dir, in welche Richtung du C verschieben musst, am einfachsten entlang einer der berechneten Seiten.

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Hi, Dir das ganze auszurechnen ist glaube ich wenig sinnvoll. Ich persönlich würde dir mal den "Satz des Thales" empfehlen. Also wenn du die Strecke AB betrachtest, so musst du um diese im zweidimensionalen Raum einen Halbkreis, mit Radius 1/2 AB um den Mittelpunkt der Strecke ziehen. Alle Punkte des Kreises bilden damit, wenn du sie als dein gesuchtes C betrachtest ein rechtwinkliges Dreieck zusammen mit AB. Da wir uns aber im IR³ befinden, kannst du dir sogar einen Punkt aussuchen, der auf dem Kreis um AB mit Radius 1/2 AB (also AB der Druchmesser) liegt. Ich hoffe das hilft dir, die Aufgabe zu lösen :) Gruß

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