Frage von ANDROUDT, 16

Ursprunstagente Berechnungsschritt unklar?

Hallo,

ich habe eine kleine Frage zur Berechnung einer Tangente. Die Aufgabe ist diese hier: http://www.gutefrage.net/frage/ursprungstangente-berechnen

Dort der Punkt "<=> m = ( 1 / x ² ) - 1 / x = ( 1 - x ) / x ² " ist mir irgendwie nicht ganz klar. Kann mir jemand den Schritt erklären? Ich weiß schon mal, dass man f(x) für den Funktionsterm und f´(x) für die Steigung braucht und das dann gleichgesetzt (?). Daraus kommt bei mir dann raus: -1/x^2 = 1/x -1

Vielen Dank für die Hilfe.

lg

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 6

An der Stelle x müssen sowohl Steigung als auch Funktionswert beider Funktionen gleich sein.

mx wird erst einmal gleich (1/x)-1 gesetzt, dann nach m aufgelöst.

Es ergibt sich: m=(1/x²) - 1/x


1/x² und 1/x werden auf den Hauptnenner, nämlich x² gebracht. Dazu wird 1/x mit x erweitert. Man hat also:

m=(1-x²) - x/x²

Nach Bruchregel a/b - c/b = (a-c)/b ergibt sich:

m=(1-x)/x²



Dieses m gibt die Steigung der Geraden an. An der Stelle x muss sie gleich der Steigung des Funktionsgraphen sein. 

Man benötigt die Ableitung der Funktion f und setzt sie gleich der oben ermittelten Tangentensteigung. 

Dann wird nach x gelöst und die Probe gemacht.

Kommentar von ANDROUDT ,

Super hilfreiche Erklärung. :-)

Vielen Dank.  

Antwort
von Zwieferl, 3

Eine Tangente hat mit ihrer Funktion genau eine gemeinsame Lösung → d.h. die Diskriminante (der Teil unter der Wurzel in Mitternachtsformel muß 0 sein):

m·x=1/x-1    | ·x; alles auf eine Seite
m·x²+x-1=0 → x= (-1∓√(1+4m))/2m ⇒ 1+4m=0 → m=-¼

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