Frage von Lara45566, 16

Untervektorräume, kann mir jmd helfen?

Also.. Wir haben folgendes Thema zurzeit. Teilmengen und Untervektorräume.
Ich weiß das wenn ich schauen möchte, bei welcher teilnehme es sich um einen Untervektorraum handelt, dass ich dann die 3 Bedingungen überprüfen muss. allerdings verstehe ich noch nicht so wie man das aufschreibt. Die drei Bedingungen sind ja:
1. Die Teilmenge U darf nicht leer sein
2. v,w ∈ U → v + w ∈ U
3. a ∈ K , v ∈ U → av ∈ U

Vlt. Kann mir das ja jmd an dem Beispiel  {(x1,x2,x3) | x1 ≥ x3} ⊂ R3
erklären. Oder auch mit mir zusammen erarbeiten. Damit ich die nachfolgenden Aufgaben bewältigen kann.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 16

Der Vektor (x1, x2, x3) gehört genau dann zu U, wenn x1 ≥ x3 ist.

Bedingung 1: Wir probieren z. B. einen einfachen Vektor aus: (0, 0, 0) gehört dazu, weil 0 ≥ 0 ist. Also

Bedingung 2: Vektor x = (x1, x2, x3), Vektor y = (y1, xy2, y3).

x + y = (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

Da nach Voraussetzung x und y zu U gehören, ist x1 ≥ x3 und y1 ≥ y3

Aus x1 ≥ x3 und y1 ≥ y3 folgt x1 + y1 ≥ x3 + y3, damit ist x + y ∈ U.

Bedingung 3: a ∈ ℝ und x ∈ U → a x ∈ U

a x = (a x1, a x2 , a x3)

Frage: folgt aus x1 ≥ x3 auch a x1 ≥ a x3 ?

Kannst du das selber beweisen oder widerlegen?

Kommentar von PWolff ,

Tipp: Probier als erstes die Werte 0, 1, -1, 2

Antwort
von Physikus137, 14

1. U ist nicht leer, denn ∃ x1 ∈ |R ∀ x3 ∈ |R: x1 ≥ x3

2. Seien v,w ∈ U, (1) v1 ≥ v3, (2) w1 ≥ w3 n.V. Sei x = u+v => x3 = v3+w3 ≤ v1 + w3 ≤ v1 + w1 = x1 => u+v ∈ U

3. Analog zu 2.

Kommentar von Lara45566 ,

Danke :)
Die nächste Aufgabe ist {(x1, x2) | 2x1 + 3x2 ≥ 0 und − 6x2 − 4x1 ≥ 0} ⊂ R2

Ich habe jetzt das so gemacht:
1. Nullvektor eingesetzt, da kommt herraus, dass die Teilmenge nicht leer ist

2. seien (x1,x2), (y1,y2) ∈ U
=> (x1,x2) + (y1+y2) = (x1+y1,x2+y2) = (x1+y1, x2+y2) ∈ U

3. sei (x1,x2) ∈ U, λ∈R
=> λ(x1,x2) = (λx1,λx2) = (λx1,λx2) ∈ U

Ist das so richtig ?
Wenn ja, dann habe ich das Prinzip verstanden

Kommentar von Physikus137 ,

Das Prinzip ist richtig. Es ist natürlich in 2. noch zu zeigen (oder zu widerlegen, wie bei 3. in der ersten Aufgabe), dass 2(x1+y1) + 3(x2+y2) ≥ 0 und -6(x2+y2) - 4(x1+y1) ≥ 0 und bei 3. entsprechend, dass 2(λx1) + 3(λx2) ≥ 0 ∀ λ∈R und -6(λx2) - 4(λx1) ≥ 0 ∀ λ∈R

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