Frage von Zarife9876, 31

Untersuche ob der Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist?

a.) f(x)=-1/4x^5+3x
b.) f(x)=x^3-5x+1

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 31

Hallo,

wenn eine Funktion nur ungerade Potenzen hat, ist sie punktsymmetrisch, also symmetrisch zum Ursprung. Hat sie nur gerade, ist sie symmetrisch zur y-Achse.

Somit ist Funktion a symmetrisch zum Ursprung.

Funktion b ist zwar auch punktsymmetrisch, allerdings wegen des +1 nicht zum Ursprung.

Wenn Du hier den Symmetriepunkt berechnen willst, brauchst Du die Formel -f(x)=f(2a-x)-2b. a und b sind dann die Koordinaten des gesuchten Punktes.

Hierzu wählst Du zwei beliebige Punkte auf dem Funktionsgraphen, indem Du für x irgendwelche Werte einsetzt und f(x) berechnest. Am einfachsten ist es, für x einmal die 0 und einmal die 1 zu wählen:

f(0)=0³-5*0+1=1

f(1)=1³-5*1+1=-3

Nun kannst Du zwei Gleichungen aufstellen, um a und b zu berechnen:

-f(0)=f(2a-0)-2b

-f(1)=f(2a-1)-2b

Also:

-1=8a³-10a+1-2b (Anstelle von x setzt Du hier 2a-0, also 2a ein.

Die zweite Gleichung lautet:

3=(2a-1)³-5*(2a-1)+1-2b (Diesmal setzt Du für x 2a-1 ein, denn Du berechnest ja f(2a-1).

3=8a³-6a²+6a-1-10a+5+1-2b , zusammengefaßt:

3=8a³-6a²-4a+5-2b

Beide Gleichungen löst Du nach 2b auf:

2b=8a³-10a+2 und 
2b=8a³-6a²-4a+2

Wenn Du die Gleichungen durch 2 teilst, bekommst Du:

b=4a³-5a+1 und

b=4a³-3a²-2a+1

Da hier beide Male b= steht, kannst Du die beiden rechten Seiten der Gleichung gleichsetzen:

4a³-5a+1=4a³-3a²-2a+1

Nun bringst Du alles nach links:

3a²-3a=0

3a ausklammern:

3a*(a-1)=0

Wir erhalten zwei Lösungen: a=0 oder a=1

Diese Lösungen setzen wir ein, um das dazugehörige b zu bestimmen.

b=4a³-5a+1 Für a=0 ist b=1, was uns zum ersten möglichen Symmetriepunkt (0|1) führt.

Für a=1 ist b=4-5+1=0 Der zweite mögliche Symmetriepunkt ist (1|0)

Nun müssen wir noch prüfen, welcher dieser beiden Punkte tatsächlich auf dem Funktionsgraphen liegt:

Da wir die Funktionswerte für x=0 und x=1 bereits berechnet hatten, können wir uns diese Arbeit sparen. Wir wissen ja bereits, daß f(0)=1 ist und f(1)=3.

Somit ist also Punkt S (0|1) der Punkt, zu welchem unsere Funktion symmetrisch ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Zarife9876 ,

Heißt du zufälligerweise mazioch mit Nachnamen??????

Kommentar von Willy1729 ,

Wie kommst Du denn darauf? Wer soll das sein?

Kommentar von Zarife9876 ,

Ja oder nein ?

Kommentar von Willy1729 ,

Nein, nicht daß ich wüßte. Wieso sollte ich so heißen?

Kommentar von Zarife9876 ,

Egal ...

Kommentar von Zarife9876 ,

Hab jetz aber eine Frage was kommt jetzt bei a.)hin

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe mir hier eine Menge Mühe mit dieser Antwort gegeben. Da kannst Du mir wenigstens sagen, wieso Du meinen Nachnamen wissen wolltest. 

Somit ist Funktion a symmetrisch zum Ursprung. 

Gruß, Willy 

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

In den Gleichungen, die für die beiden Standardsymmetrien gelten müssen (vgl. loveflowersyeah), kommt beides Mal der Term f(-x) vor.
Daher gehe ich immer so vor:

Ich bilde f(-x), indem ich in dem Term von f(x) das x durch (-x) ersetze, rechne den Term dann komplett aus und vergleiche anschließend, ob mein Ergebnis genau dem Term f(x) entspricht (Achsensymmetrie) oder genau das Negative von f(x) ist, als -f(x) (Punktsymmetrie).
Falls keine der beiden Gleichheiten gilt, erfüllt der Graph keine der beiden Eigenschaften.

Kommentar von Zarife9876 ,

Kannst du eins vormachen

Kommentar von KDWalther ,

Na wenn's der mathematischen Erkenntnis dient :-)

f(x)=-1/4x^5+3x

f(-x) = -1/4(-x)^5 + 3(-x)
        = -1/4·(-x^5) - 3x
        =  1/4x^5  -  3x
        = - [-1/4x^5 + 3x]
        = - f(x)
Also ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.

Expertenantwort
von loveflowersyeah, Community-Experte für Schule, 25

Ja dann mach mal ;)

Achsensymmetrie: f(x)=f(-x)

Punktsymmetrie: -f(x)=f(-x)

Lg Lfy

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