Nein ganz sicher nicht

das ist nicht zwingend, aber name sollte am ende ausgeschrieben dastehen

ja, ausdrucken, unterschreiben, einscannen und per mail verschicken.

Ja, eingescannte Unterschrift als Grafik in Dokument einfügen. Zwingend ist das nicht (gibt ja keine Gesetze zum Bewerbungschreiben), aber es macht sich aber auf jeden Fall besser.