Frage von prinzessinleksi, 24

Was muss ich da machen beim Thema "Unterschiedliche Darstellungsformen für Ebenen in der analytischen Geometrie als PL"?

Ich bin Schülerin der 13. Klasse einer Stadtteilsschule und werde bald meine PL in Mathe halten. Wir haben als Oberthema die analytische Geometrie und meine Aufgabenstellung lautet: Unterschiedliche Darstellungsformen für Ebenen in der analytischen Geometrie. Desweiteren steht da was von Parameterdarstellungen aber ich weiß überhaupt nichts damit anzufangen! Kann mir jemand helfen und mir sagen, was ich da überhaupt machen soll?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 13

Hallo,

die anschaulichste Art, eine Ebene im Raum darzustellen, ist sicher die Parameterform. Du hast einen Punkt in der Ebene und zwei Vektoren, die von diesem Punkt in unterschiedliche Richtungen ausgehen (es darf aber kein Winkel von 180° zwischen ihnen sein), das heißt, die beiden Vektoren müssen linear unabhängig sein. Wenn Du diese Vektoren jeweils mit beliebigen Parametern multiplizierst, kannst Du so jeden Punkt auf der Ebene erreichen oder beschreiben.

Eine solche Ebenengleichung sieht dann so aus (in Wirklichkeit werden die Komponenten der Vektoren nicht nebeneinander, sondern übereinander geschrieben, das geht hier aber nicht):

(1/2/3)+r*(4/5/6)+s*(7/8/9). Je nachdem, was Du für r und s einsetzt, bekommst Du jeden möglichen Punkt in dieser Ebene als Ergebnis. Das Ergebnis ist der Vektor, der vom Koordinatenursprung zu dem gewünschten Punkt führt. Auch der Vektor (1/2/3) führt vom Ursprung aus zu dem sogenannten Aufpunkt, der auch die Koordinaten (1|2|3) besitzt, während die beiden andren Vektoren, die sogenannten Richtungsvektoren, von diesem Punkt ausgehen.

Wenn Du ein Gleichungssystem aufstellst: (x/y/z)=(1/2/3)+r*(4/5/6)+s*(7/8/9),

also: 

x=1+4r+7s
y=2+5r+8s
z=3+6r+9s

und diese Gleichungen so umformst, daß r und s herausfallen, bekommst Du die Koordinatenform der Ebene heraus, die eine Gleichung mit x, y und z darstellt. Jede Kombination von x, y und z, die diese Gleichung erfüllt, ist ein Punkt in dieser Ebene.

Hier hieße die Gleichung -3x+6y-3z=0

Andere Darstellungen sind noch die Punkt-Normalenform oder die Hessesche Normalenform. Hier solltest Du diese Stichworte und auch das Stichwort Normalenvektor und Kreuzprodukt googlen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

einfacher geht es noch, wenn Du das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bildest. Dessen Koordinaten kannst Du als Faktoren vor x, y und z setzen. Die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen ist die Determinante der Matrix des Gleichungssystems.

Ich muß aber zur Arbeit und habe keine Zeit für weitere Erklärungen.

Alles Gute,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Du kannst die Koordinatengleichung noch durch 3 teilen:

-x+2y-z=0

An der Ebene ändert sich dadurch nichts.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von fjf100, 4

TIPP :besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen.Da stehen alle Formeln drin,die du für deine Aufgaben brauchst.Außerdem brauchst du dann noch ein Lehr- und Übungsbuch mit durchgerechneten Beispielaufgaben.

Der "Bornstein" soll gut sein !! Mit Erklärungen,Zeichnungen und Beispielen.Wird glaub ich im Harri Deutsch Verlag angeboten 

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