Frage von DerJavaNoob, 29

Unter welchen Umständen kann man NICHT die Stammfunktion einer Funktion aufstellen und welche Kriterien muss diese Funktion erfüllen?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 16

Eine nicht integrierbare Funktion hat auch keine Stammfunktion.

Unstetige Funktionen können zwar integrierbar sein, aber die Integralfunktion hat an der Unstetigkeitsstelle der Aurgangsfunktion keine Ableitung.

Es gibt sogar Funktionen, deren Integralfunktion überall differenzierbar ist, aber dennoch keine Stammfunktion der Ausgangsfunktion ist, wie

f(x) = 1 für x = 0

f(x) = 0 sonst

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 20

f muss eine reellzahlige stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall sein.

Antwort
von hypergerd, 2

Ich glaube es geht hier um "Integrierbarkeit".

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung

unterscheidet 2 Bedingungen:

a) Stetigkeit

b) explizite Lösbarkeit

bei b) geht es um Funktionen, zu denen man bis heute keine explizite Funktion gefunden hat wie Integral x^x dx

Man kann sie aber numerisch lösen {entweder numerische Integration oder Summe aus ExpIntegralE-Funktion } und ihr einen Namen verpassen

wie bei http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

IntegralxPowX(x)=Sphd(x)

Auch ExpIntegralE(x,y) ist wieder eine Integralfunktion, die nicht explizit, aber mit Hilfe von Algorithmen (Summen, Gamma2, hypergeometrische Funktion) berechenbar ist.

Man muss also sehr aufpassen, was man genau meint, wenn man sagt "x hoch x ist nicht integrierbar" -> es fehlt der Teil: "... nicht mit expliziten Funktionen..."

Beim Begriff explizite Funktionen wird bis heute auch immer gestritten, denn Funktionen wie sin(x) werden auch über unendliche Summen oder hypergeometrische Funktionen berechnet (wie ExpIntegralE )! Oder Wurzel(x)=sqrt(x): wird über Iteration analog Newton-Verfahren (numerisch) oder hypergeometrische Funktion {unendliche Summe aus Pochhammer-Symbolen, also numerisch} berechnet. Nur der Mensch schafft hier "Schubfächer" und definiert, was explizit genannt wird und was nicht!

Dann gibt es noch eine Verstärkung des Begriffs:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichgradige_Integrierbarkeit

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 11

Zitat aus "Netz - Formeln der Mathematik", Hanser-Verlag -->

Zu jeder in einem Intervall (Integrationsintervall) stetigen Funktion f gibt es mindestens eine Stammfunktion F

Schau mal im Internet unter Stetigkeit von Funktionen nach.

In dem genannten Buch stehen auch viele Lehrsätze über Stetigkeit.

Kommentar von DepravedGirl ,

P.S -->

Ob man daraus auch die Umkehrschlussfolgerung treffen kann, dass unstetige Funktionen nicht integrierbar sind, weiß ich nicht.

Ich vermute nur dann, wenn eine Definitionslücke der Funktion behebbar ist, also einen Grenzwert hat, weiß es aber nicht ganz genau.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten