Frage von island92, 1

Unter säamtlichen Kreiszylindern vom Rauminhalt V = 1200cm3 ist derjenige mit minimaler Gesamtoberfäche zu bestimmen.?

hat da einer einen Ansatz für mich? :(

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 1

1200 = pi r² h nach h umstellen

und in Oberfl.-formel einsetzen;

dann O ' = 0

usw

Kommentar von island92 ,

eine Frage noch, wie wäre der Ansatz zu

Einer Kugel vom Radius R = 3m ist ein senkrechter Kreiszylinder größten Volumens einzubeschreiben.

gute Nacht :)

Kommentar von Ellejolka ,

skizze kreis und rechteck drinnen;

6² = h² + (2r)²   mit h und r vom Zylinder

nach h umstellen und einsetzen in V=pi r² h

dann

V ' = 0 usw

Antwort
von Schachpapa, 1

Ansatz:

I) V = h * pi * r^2
II) O = 2 * pi * r^2 + h * 2 * pi * r

aus I: h = V/(pi*r^2)

in II:
O(r) = 2 * pi * r^2 + V/(pi*r^2) * pi * r
       = 2 * pi * r^2 + V / r

O'(r) = 4 * pi * r - V/r^2

4 * pi * r = V/r^2

r^3 = 300/pi

r = 4,571

h = 18,281

Kommentar von island92 ,

eine Frage noch, wie wäre der Ansatz zu

Einer Kugel vom Radius R = 3m ist ein senkrechter Kreiszylinder größten Volumens einzubeschreiben.

gute Nacht :)

Kommentar von Schachpapa ,

Da machst du dir am besten eine Skizze von der Seitenansicht und beschreibst ein Rechteck in einen Kreis ein.

Für h und r gilt:

(h/2)^2 + r^2 = R^2   <=> r^2 = R^2 - (h/2)^2

V = h * pi * r^2 = h * pi * (R^2 - h^2 / 4) = h*pi*R^2 - h^3 / 4

V'(h) = 9 pi - 3/4 h^2

V'(h) = 0 <=> 9 pi = 3/4 h^2 <=> h = +- wurzel (12 pi) = +- 6,14

Kommentar von Geograph ,

Sicher der späten Stunde geschuldet ;-)


"V = h * pi * r^2 = h * pi * (R^2 - h^2 / 4) = h * pi * R^2 - h^3 / 4"

V = π • (h • R² - h³ / 4)

V' = dV/dh = π • ( R² - h² • 3/4) = 0

h = 2/√3 • R

r = √(2/3) • R

Kommentar von Schachpapa ,

Jo, war schon spät. Danke für die Korrektur.

Kommentar von Geograph ,

Zudem hätte der 6,14m hohe Zylinder nicht ohne weiteres in die Kugel mit 6m Durchmesser gepaßt.

Kommentar von Schachpapa ,

Nun bohr noch drin herum ;-) Das hätte mir auch zu später Stunde trotz Feierabendbier auffallen müssen.

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