Frage von Zimtparfaites, 224

unlösbare Amtheaufgabe? wer kann helfen?

Im Matheunterricht haben wir gerade das Thema Geometrie. Auf einem Arbeitszelltel bemerkten wir einen scheinbar unlösbare Aufgabe. Der Leherer lockt uns mit einem Notenpunkt besser auf dem endzeugnis wer diese Aufgabe löst. ich hab eine Zeichnung erstellt ( Mit paint). Gesucht ist der Umfang der Figur! Ich freue mich auf eure Hilfe. Lg

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 3

Hallo,

ich bin ein wenig spät auf die Aufgabe gestoßen, aber vielleicht interessiert sich noch jemand dafür.

Die Skizze ist äußerst irreführend. Mit etwas Überlegung machst Du es Dir einfacher.

Beachte das obere Dreieck:

Die Basis ist 18 cm lang, die Höhe hat 9 cm, ist also halb so groß wie die Basis. Am Endpunkt der Höhe ist ein rechter Winkel.

Wenn Du dieses Dreieck konstruieren müßtest, würdest Du um die Basis einen Halbkreis ziehen (Thaleskreis) und in 9 cm Abstand zur Basis eine Parallele ziehen. Dort, wor sich der Kreis und die Parallele schneiden, ist der Scheitel des rechten Winkels. Da der Kreisradius 9 cm ist und damit genauso groß wie die Höhe, ist klar, daß die Parallele eine Tangente an den Kreis darstellt, der Scheitel des rechten Winkels liegt damit genau in der Mitte über der Basis, was weiter bedeutet, daß Du es mit einem gleichschenkligen Dreieck zu tun hast und die Basiswinkel je 45° betragen. Auf der rechten Seite wird der Schenkel des rechten Winkels fortgesetzt, bis er eine Parallele auf der anderen Seite der Basis - ebenfalls in 9 cm Abstand - schneidet. Somit ist das untere Dreieck kongruent zu dem rechten oberen Teildreieck, das Dreieck also, das sich an das untere Rechteck anschmiegt. Das Rechteck hat eine Grundseite von 18 cm. Da die untere Seite des unteren Teildreiecks ebenfalls wie beim oberen 9 cm lang ist, ergibt dies zusammen 27 cm, die untere Seite des kompletten Trapezes. Das wiederum bedeutet, daß links von dem Rechteck gar kein Dreieck mehr sein kann.

Nun ist der Umfang leicht zu berechnen: Unterseite: 27 cm, rechte Verbindung vom rechten unteren Eckpunkt des Trapezes bis hinauf zum Scheitel des oberen Dreiecks: 18*Wurzel (2), denn die rechten Seiten der kongruenten Teildreiecke sind Diagonalen eines Quadrates von 9 cm Kantenlänge.

Vom Scheitel des Dreiecks bis zur linken oberen Ecke des Trapezes sind es 9*Wurzel (2) cm, so daß Du bei den Schrägen insgesamt auf 27*Wurzel (2) kommst;
am Ende fehlen noch links unten 9 cm (die Höhe des Rechtecks):

So kommst Du auf 27+9+27*Wurzel (2)=74,18 cm Umfang, ohne den Pythagoras oder Sinus und Co bemühen zu müssen (naja, für die Diagonale des Quadrates brauchst Du den Pythagoras, wenn Du nicht weißt, daß die Diagonale eines Quadrates die Grundseite mal Wurzel (2) lang ist).

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von FelixFoxx, 98

Pythagoras für die kleinen Dreiecke links und rechts:

Fehlende Seite c=Wurzel(4,5²+9²)=4,5 * Wurzel(5)

Oberes Dreieck Satz von Euler h²=p * q, p+q=18

9²=p * q=p * (18-p)

81=18p-p²

p²-18p+81=0

(p-9)²=0

p=9 und q=9

Satz des Pythagoras

p²+h²=x² und q²+h²=y²

9²+9²=162=x²=y², x=y=9 * Wurzel(2)

Umfang U=27+2 * c + x + y

=27+2 * 4,5 * Wurzel(5)+9 * Wurzel(2)+9 * Wurzel(2)

=27+9 * Wurzel(5) + 9 * 2 * Wurzel(2)

=27+9(Wurzel(5)+2 * Wurzel(2))

Kommentar von Zimtparfaites ,

danke für deine antwort!:) also der umfang der beiden kleinen dreiecke ist für mich verständlich. könntest du mir genauer erklären wie ich die länge der seiten links und rechts von rechten winkel ausrechne? Also für dummies sozusagen :)

Kommentar von gerolsteiner06 ,

Verwunderung!!!

Steht doch da:

Satz des Pythagoras

p²+h²=x² und q²+h²=y²

9²+9²=162=x²=y², x=y=9 * Wurzel(2)

@Felix: woher nimmst Du die Gewißheit, dass die beiden kleinen Dreiecke rechts und links identisch sind ? Allein aus der Darstellung in der Skizze ?

Kommentar von Zimtparfaites ,

für was steht denn x und y?

Kommentar von gerolsteiner06 ,

genau für die beiden Seiten des oberen Dreiecks nach denen Du fragst: felix hat es nicht explizit gesagt und alles im Detail erläutert, aber von dem was er dargestellt hat ist das eigentlich klar.

Kommentar von FelixFoxx ,

Wenn die unteren Dreiecke nicht symmetrisch wären, bräuchte man mehr Angaben.

Kommentar von FragendesWeb ,

Yepp!

Antwort
von Dultus, 72

Hey ho,

damit du deine Note auch selbst verdienst, gebe ich dir nur einen Hinweis: Geometrie. Du hast alle Maße vorgegeben, die man braucht.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6he\_%28Geometrie%29

MfG


Antwort
von SecretGirl7, 112

Nicht wirklich schwer, wo liegt das Problem? :)

In welche Klasse gehst du denn?


Kommentar von Zimtparfaites ,

wie kann ich denn bei dem größten Dreieck den satz des Pytagoras anwenden? dort habe ich nur die läge der seite c gegeben.

Kommentar von SecretGirl7 ,

Könnt ihr denn schon mit sinus und so rechnen?

Kommentar von Zimtparfaites ,

ja, um mit sinus usw zu rechnen bräuchte ich mindestens noch eine seitenangabe oder einen winkel. oder nicht? mir ist bewusst dass die aufgabe lösbar ist. scheinbar weit über unserem wissensstand. also wäre ich schon dankbar über verständliche erklärunken wenn du das so einfach findest. anders hätte ich mir j die frage hier sparen können. danke

Kommentar von azmd108 ,

...und die Höhe, indirekt dazu sogar noch einen Winkel.

Kommentar von AdlerI ,

Du hast zwei längen gegeben:

einmal die 9cm von der Schräge und die 18cm die bei dem Rechteck stehen.

MfG,

Adler!

Antwort
von azmd108, 125

Dafür gibts eine Note besser auf dem Endzeugnis? Die Aufgabe ist bei
weitem nicht unlösbar und auch nicht sonderlich schwer... das kriegst du
schon alleine hin.

Kommentar von Zimtparfaites ,

ein paar tipps? :)

Kommentar von azmd108 ,

Satz des Pythagoras

Kommentar von Zimtparfaites ,

mit dem satz des pytagoras allein kann man das sicherlich nicht errechnen!

Kommentar von Zimtparfaites ,

Also wenn du hier behauptest das ist so einfach dann gebe doch auch eine erklärung dazu ab!

Kommentar von azmd108 ,

Nein, wieso? Es ist deine Aufgabe, wofür du dazu auch noch eine sehr gute Note bekommst. Die bekommst du, damit DU die Aufgabe löst und nicht damit ich es tue.

Kommentar von Zimtparfaites ,

dann spar die deine und meine zeit und kommentier hier nicht! denn mit satz des pytagoras kommt man hier nicht weit. wie willst du das den anwenden wenn du nur eine seitenlänge gegeben hast?!

Kommentar von FragendesWeb ,

Ich seh es so, daß Du dich da mächtig im Ton vergreifst, schließlich wurden Dir Denkansätze und auch schon eine komplette Lösung präsentiert!

Und wenn Du magst, kanst Du den Inhalt des Rechtecks statt a*b genausogut mit dem Satz des Pythagoras berechnen, wenn Du es kompliziert haben willst. - Schließlich ist die Rechteckfläche auch durch 2 Dreiecksflächen darsttellbar.

Wenn das ganze so unlösbar ist, dann liegt es vielleicht daran, daß die zeichnerische Qualität nicht jede Tücke wiedergibt, die diese geometrische Figur beinhaltet. Aber in dem Fall hättest Du ja nachliefern können.

Ich für meinen Teil sehe da zumindest 3 Dreiecksflächen und eine Rechteckfläche.

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