Sollte man für Kinder eine separate Unfallversicherung abschließen oder sind bei der elterlichen Versicherung automatisch mit drin?

Unfallversicherungen sind i. d. Regel personenbezogen. Es gibt vielleicht auch Familien- oder Kombipolicen, aber die halte ich nicht für sinnvoll! Ich würde für jeden eine separat abschliessen, da jede Person unterschiedliche Risikostrukturen hat. Der Eine (Familienernährer) braucht z. B. höheren Schutz als der Andere. Kinder brauchen einen besonders Hohen, denn sie haben schliesslich noch ihr ganzes Leben vor sich. Dafür gibt es sie für Kinder sehr günstig. Bessere Konditionen als für Erwachsene. Ab schon 5 Euro im Monat ist man pro Kind dabei. Wichtig: Mit Jahresprämien, wie auch bei anderen Tarifen üblich, wirds günstiger als mit der mtl. Pfennigfuchserei!

Nein, die brauchen was eigenes. Kann aber, wenn man will, in den Elternvertrag mit aufgenommen werden als ebenfalls versicherte Person.

Die Kinder sind doch in der Familienversicherung mit drin. Entweder durch den Vater oder durch die Mutter abgeschlossen.
Du solltest auf jeden Fall eine eigene Versicherung abschließen. Die ist auch für Kinder sinnvoll, denn schnell ist etwas passiert und eine Unfallversicherung ist nicht teuer, hilft aber im Schadensfall gut.
Eine private Unfallversicherung muss getrennt, personenbezogen, abgeschlossen werden.
Die Aussage von swenw ist natürlich falsch. Das bezieht sich auf die gesetzliche Unfallversicherung, die hier aber in keinster Weise greifen kann.