Frage von Catiua, 17

Umformung komplexe Zahl?

Hallo, Ich kann leider nicht nachvollziehen warum z^3+4sqrt(2) = 4sqrt(2)*i und was dessen Normalform sein soll.

Bedanke mich im Voraus

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 9

Mir kommt es auch so vor, als fehle da etwas. So braucht man ja nur die
3. Wurzel zu ziehen:

z = ³(4 * (i - 1) * √2)

Antwort
von SlowPhil, 4

Mir scheint es, dass

(1) z³ + 4√2 = 4√2·i,

wie ich sie mal der besseren Lesbarkeit halber schreiben möchte, einfach eine nach z aufzulösende Gleichung sein soll. Wenn das wirklich so heißen soll, wie es in (1) steht, wäre der nächste Schritt, auf beiden Seiten 4√(2) zu subtrahieren:

(2) z³ = 4√2·(i – 1) = √{32}·(i – 1).

––

Nach der Eulerschen Formel

(3.1) e^{ix} = cos(x) + i·sin(x)

hat eine Komplexe Zahl

(3.2) z = x + iy

eine Polardarstellung

(3.3) r·e^{iφ}.

Addition und Subtraktion Komplexer Zahlen gehen besser in der kartesischen Darstellung (3.2), Multiplikation und Division sowie höhere Rechenoperationen besser in der Polardarstellung (3.2).

---

Mit diesen Informationen können wir gut weiter kommen: So hat i–1 die Polardarstellung

(4) i –1 = √2·e^{i·3/4·π},

wodurch (2) zu

(5) z³ = √2·√{2}·e^{i·3/4·π} = √{64}·e^{i·3/4·π} = 8·e^{i·3/4·π}

wird, und au den Potenzgesetzen folgt, dass

(6) z₀ = 2·e^{i·¼·π} = √2·(i + 1)

eine Lösung der Gleichung ist.

In ℂ haben kubische Gleichungen, wenn sie nicht »ausgeartet« sind, 3 Lösungen gleichen Betrages; daher gibt es zwei weitere Lösungen z₁ und z₂, die sich allerdings weniger komfortabel in kartesischer Form angeben lassen.

Antwort
von Zwieferl, 5

Um die Wurzel einer komplexen Zahl ziehen zu können, mußt du sie in die Polarform bringen: a+b·i → (r;ρ°); r=√(a²-b²), ρ= arctan(b/a)

Danach kannst du Wurzel ziehen: ∛r; ρ/3

Dann rückformung in Normalform: a=r·cos(ρ/3); b=r·sin(ρ/3)

Bei 3.Wurzel hast du 3 Lösungen: ρ/3; ρ/3+120; ρ/3+240 (analog bei 4.Wurzel 4 Lösungen; ρ/4+1·90, ρ/4+2·90....)

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