Frage von lsfarmer, 43

Umformen von Funktionen?

Da bis jetzt nicht geholfen werden konnte, stelle ich hier die Frage.

Bei der anloegenden Teilaufgabe geth es ums Funktionen Umformen.

Kann jemand mal in kleinen Schritten erklären wie?

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 7

Ich zeig es dir für Aufgabe 1:

Produktform heißt im Klartext: f(x)=(x-Nullstelle1)*(x-Nullstelle2)*(x-Nullstelle3)... je nachdem, wie viele Nullstellen die Funktion hat.

Damit du die Produktform angeben kannst, brauchst du logischerweise die Nullstellen. Also mal ran an den Speck:


f(x)=2x²-6x+4

0=2x²-6x+4

0=2


Nun hast du eine Gleichung der Form ax²+bx+c.

Du kannst nun z.B. die Mitternachtsformel anwenden, dann sparst du dir einen ganzen Rechenschritt. Ich werde aber die P/Q-Formel nehmen, da ich die Mitternachtsformel nicht auswendig kann und die hier nicht so schön zum Ausschreiben ist. Für die P/Q-Formel gilt:

f(x)=+px+q ---> Nullstelle1;2=-p/2 +- Wurzel aus ([p/2]²-q)

Du siehst vielleicht, dass oben (fett markiert) vor dem x² kein Faktor mehr steht, d.h. den müssen wir für deine Funktion wegkriegen. Das geht so:


0=2x²-6x+4 | :2

0=x²-3x+2 (wichtig: Alle Summanden teilen!)

Und nun die Formel anwenden; p=-3 und q=2

x1;2= -(-3/2) +- Wurzel aus ([-3/2]²-2)

x1;2= 3/2 +- Wurzel aus (0.25)

x1=2

x2=1


Die Nullstellen liegen also bei x=1 und x=2. Nun kannst du die Produktform aufstellen. Zuerst kannst du aber bei f(x) noch die 2 ausklammern:

f(x)=2*(x²-3x+2)

Nun Produktform:

f(x)=2*(x-1)*(x-2)


Nun zur Scheitelpunktform:

Schreiben wir zuerst wieder die Anfangsfunktion auf:

f(x)=2x²-6x+4


Für die Scheitelpunktform muss gelten:

f(x)=a*(x-xs)²+ys ( xs=x-Koordinate des Scheitelpunktes, ys=y-Koordinate des Scheitelpunktes)



Wir klammern 2 aus, denn sie ist als Faktor in jedem Summanden enthalten:

f(x)=2*(x²-3x+2)

Unser a haben wir also schon einmal gefunden.


Jetzt ruf die mal die ersten beiden binomischen Formel ins Gedächtnis:

(a+b)²=a²+2ab+b²

und

(a-b)²=a²-2ab+b²


Schau dir jetzt oben den fett markierten Teil an. Wir haben irgendein Binom und eine Zahl dahinter. Unser Ziel ist es nun, die Restfunktion so umzuformen, dass wir genau auf diese Struktur kommen.

x²-3x+2 muss also irgendwie in ein Binom und eine Zahl geformt werden.

Am negativen Vorzeichen von 3x sieht man, dass hier die 2. binomische Formel zu nutzen ist. Und jetzt gleichen wir mal komponentenweise ab:

a²-2ab+b² = x²-3x+2

--> a²=x --> a=x

-2ab=-3x --> -2xb=-3x --> -2b=-3 ---> b=(3/2)

Nur die 2 stört. Wenn man nämlich annimmt, dass b²=2, folgt b=Wurzel 2, was im Widerspruch zu b=(3/2) steht. Nun nutzt man einen geschickten Trick:



f(x)=x²-3x+2   

Den Faktor *2 hab ich hier jetzt aus Bequemlichkeit weggelassen. 

Wenn man von b=(3/2) ausgeht, folgt b²=(3/2)². Wenn wir das jetzt einfach "in die Gleichung packen" und dann direkt wieder abziehen, ändert das ja nichts an der Gleichung ; man addiert quasi 0.

f(x)=x²-3x+(3/2)²-(3/2)²+2

Jetzt aber passiert was tolles: x²-3x+(3/2)² ist nämlich gerade die zweite binomische Formel:

f(x)=(x-3/2)²-(3/2)²+2

f(x)=(x-3/2)² - 0.25

Jetzt wieder *2 vorschreiben:

f(x)=2*[(x-3/2)² - 0.25]

f(x)=2*(x-3/2)²-0.5


Und jetzt oben gucken; es ist die Scheitelpunktform. Aus Erfahrung weiß ich, dass Schüler oft Probleme haben, in die richtige binomische Formel umzuführen. Hier also eine Schnellanleitung:


f(x)=cx²+dx+e (ich hab die Koeffizienten jetzt anders benannt, damit es nicht zu Verwechselungen bei der binomischen Formel kommt, die hat nämlich auch a's und b's, die sind jedoch anders als bei ax² und bx)

1. Gegebenenfalls gemeinsamen Faktor ausklammern

2. Restfunktion in 1. oder 2. binomische Formel führen ; dazu die ersten beiden Komponenten vergleichen --->  

cx²=a² ---> nach a lösen

und 

dx=2ab ---> a einsetzen und nach b lösen

3. Quadratische Ergänzung: das ermittelte b quadrieren, dann zur Gleichung addieren und sofort wieder abziehen

4. In die binomische Formel umschreiben, Rest stehen lassen und ausrechnen

5. Ausgeklammerten Faktor wieder vor das Binom schreiben 



...puh, ganz schön viel Arbeit. Irgendwo ist vielleicht ein Fehler drin, aber die Prozedur ist hoffentlich klar. Wenn nicht, nachfragen ; der Stoff ist unerlässlich für spätere Funktionsbetrachtungen.

Kommentar von lsfarmer ,

Deshalb frage ich ja.

Kommentar von lsfarmer ,

Warum schreibt man bei der Produktform 

f(x)=2*(x-1)*(x-2)

und was passiert mit der -3?

Kommentar von MeRoXas ,

Weil man ganzrationale Funktion in ein Produkt aus der Differenz von x und den Nullstellen darstellen kann. Die -3 ist versteckt in der Klammer enthalten:

2*(x-1)*(x-2) 

=2*[x²-3x+2]

=2x²-6x+4

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