Frage von Wallstreet1999, 63

Uebungsaufgabe - Vektorrechnung?

Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fa ̈hren F1 und F2. Die Fa ̈hre F1 fa ̈hrt in 40 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig von Ort A(16|4) zum Ort B(12|20). Die Fa ̈hre F2 fa ̈hrt mit konstanter Geschwindigkeit von 25 km/h geradlinig vom Ort C(4|0) zum Ort D(25|15) (Alle Koordinaten in Km)

A) Wo kreuzen sich die Fährlinien? B) Treffen sich die Fähren? C) Wenn nein wie ist der geringste Abstand zwischen Ihnen und wann?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 38

Schön wäre es, wenn Du noch geschrieben hättest, wie denn Deine bisherigen Ansätze zur Lösung sind :-)

Schon mal als Tipp vorab: Da die Fähren geradlinig fahren, solltest Du ihre Routen durch Geradengleichungen beschreiben.
Beim Richtungsvektor würde ich dafür sorgen, dass seine Länge genau die Geschwindigkeit wiedergibt. Das vereinfacht auf jeden Fall die weiteren Berechnungen, insbesondere bei b) und c).

Kommentar von Wallstreet1999 ,

So weit war ich auch schon. Die Schnittpunkte der Geraden für F1und F2 berechnen etc. Mir ging es speziell um c.

Kommentar von KDWalther ,

Gerade hier ist es wichtig, dass Du die Geraden so aufstellst, dass beide Parameter direkt die Zeit angeben. Also z.B.:

F1: x = a + t·u
F2: x = b + t·v

(x, a, b, u, v sind Vektoren)

Den Abstand zweier Punkte bekommst Du heraus, indem Du die Länge der Verbindung zweier Punkte von F1 und F2 betrachtest (Betrag des Differenzvektors). Diese Länge soll möglichst kurz werden.

Und ab hier wirst Du mit Methoden der Analysis weitermachen müssen: Minimum bestimmen über Ableitungen :-)

Kommentar von Wallstreet1999 ,

Wir stellen ich die Geraden so auf dass beide Parameter die Zeit angeben ?

Kommentar von KDWalther ,

Ich mach's mal an einem frei gewählten Beispiel:

Angenommen, ein Punkt bewegt sich in 25 Minuten entlang eines Vektors (4; 3). Dann entspricht dies einer zurückgelegten Entfernung von √(4² + 3²) = √(25) = 5 LE.

Dividiere ich meinen Richtungsvektor also durch 25 und multipliziere ihn mit 60, dann erhalte ich den Vektor (9,6; 7,2), der mir die Bewegung innerhalb einer Stunde angibt (12 LE).

Meine Geradengleichung stelle ich nun mit diesem Vektor (9,6; 7,2) als Richtungsvektor auf. Dann gibt mir der Term t·(9,6; 7,2) den Weg an, den der Punkt in der Zeit t Stunden zurückgelegt hat.

Umgekehrt: Hast Du die Geschwindigkeit vorgegeben, musst Du die Länge des Richtungsvektors so einrichten, dass er genau der Geschwindigkeit entspricht; also: durch seine (bisherige) eigene Länge teilen und mit der Stundengeschwindigkeit malnehmen.

Soweit klar?

Kommentar von Wallstreet1999 ,

Ja gut und anschaulich erklärt wie wäre das denn in diesem Zusammenhang weil ich muss ja das nur bei einer gerade machen oder ?

Kommentar von KDWalther ,

Das musst Du schon mit beiden Fähren machen. Denn Du sollst ja den kürzesten Abstand beider Fähren berechnen.

Kommentar von Wallstreet1999 ,

Könntest du mir wenigstens die Lösungen für den ersten Teil sagen da stehe ich etwas auf dem Schlauch:/. Den zweiten habe ich verstanden den würde ich hinkriegen.

Kommentar von KDWalther ,

Okay, dann will ich mal nicht so sein :-)

Fähre 1

Sie fährt von A nach B, also in Richtung [-4; 16]. Für diese Bewegung benötigt sie 40 Minuten. Demnach legt sie in 1 Stunde 1,5 mal so viel zuück, also den Vektor [-6; 24]. Dieser hat die Länge √((-6)²+24²) = 24,7386; das ist also die Geschwindigkeit in km/h, mit der sich  Fähre 1 bewegt.

So komme ich für F auf die Geradengleichung
F1: x = [16; 4] + t·[-6; 24].

Fähre 2

Genauso gehst Du dann bei F2 vor:
F2: x = [4; 0] + t · (25/√(21²+15²)) · [21; 15]
(Durch den Vorfaktor stellst Du sicher, dass der Richtungsvektor die Länge 25 hat, entsprechend der Geschwindigkeit von F2.)

Nun geben beide Parameter direkt die Zeit in Stunden an, so dass Du aus beiden Geradengleichungen direkt in Abhängigkeit von t die Position der jeweiligen Fähre hast.

Nun komst Du weiter?

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