Trigonometrie-Aufgabe - Flächeninhalt eines 9-Ecks berechnen?

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3 Antworten

Du kannst entweder die Formeln zu gleichschenkligen Dreiecken verwenden oder jedes Segment als doppeltes rechtwinkliges Dreieck mit Kathete der Länge U/18 betrachten.

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Die neun Flächen sind gleich.
s ist die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.
Die Winkel in der Mitte sind 40°, ein halber Winkel demnach 20°.
Ich bilde dann den Tangens im halben Dreieck:

Da brauche ich ein wenig Bruchrechnung: tan 20° =  (s/2) / h   =   s/(2h)
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-2.htm

tan 20°         = s / (2h)               |*2h
2h * tan 20°  = s                        | /(2 (tan 20°))
             h     = s / (2 (tan 20°))

Damit habe ich die Höhe. Die Fläche ist wie bei jedem Dreieck:
A = g * h/2 
A = s/2 * (s / (2 (tan 20°)))
A = s² / (4 * tan 20°)

Das gilt für eins der 9 Teildreiecke.

Für s dividiere ich     11,7 / 9  =  1,3 cm

Damit ist
A = 1,3² / (4 * 0,36397)

Und das muss ich noch mit 9 multiplizieren, um die ganze Fläche des Neunecks zu bestimmen.
(Sinus und Kosinus habe ich nicht gebraucht und den Kotangens schon mal gar nicht. Wer kennt den noch?)

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A= (9/4)*(s^2)*(cos20°/sin20°)

Herleitung:
A= 9mal eine Dreiecksfläche
A= 9*[(1/2)*s*r]
A=9*[(1/2)s*(s/2)cot20°
A=(9/4)*(s^2)*(cos20°/sin20°)

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