Frage von FranklJulian, 36

Tayorpolynom und Taylorreihe?

Ich soll die Begriffe Taylorpolynom und Taylorreihe erläutern. Ist das nicht das gleiche?

Außerdem soll ich den Zusammenhang zwischen der Taylorreihe und der Potenzreihe einer Funktion erklären

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PeterKremsner, 19

Jein, die Taylorreihe bildet das Taylorpolynom. Die Taylorreihe geht vom ersten bis zum Unendlichen Glied, während das Taylorpolynom 3ten Grades ja nur bis zur dritten Potenz geht etc.

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe.

Die Potenzreihe ist allgemeint die Reihe: an*(x-x0)^n

n ist der Index x0 der Entwicklungspunkt und an sind die Vorfaktoren, bei der Taylorreihe wären die an = f^n(x0)/n!

das f^n bedeutet die n-te Ableitung von f.

Grundsätzlich kann man mit dem Zusammenhang die Werte von höheren Ableitungen sehr Effektiv berechnen.

Wenn du zB mit der geometrischen Reihe eine Funktion in eine Potenzreihe überführst kannst du mit dem Zusammenhang schnell den Wert der Hundertsten Ableitung am Punkt x0 bestimmen.

So kannst du zB die Funktion f(x) = 1/(1-x) in die Geometrische Reihe x^n überführen als Potenzreihe währe das (x-0)^n, also Vorfaktoren immer 1 und x0 = 0.

jetzt gilt für f^100(0)/100! = 1 (weil die an immer 1 sind) => f^100(0) = 100!

und du hast den Wert der Ableitung bestimmt.

Du musst hier nur auf den Konvergenzradius der Reihe achten, der ist 1 die Aproximation gilt also nur für |x| < 1

Antwort
von slutangel22, 21

Eine Reihe ist eine Summe, ein Polynom eine Funktion. Hier ist das aber echt dasselbe.

Eine Taylorreihe ist eine Potenzreihe, aber mit ganz bestimmten Eigenschaften in Bezug auf die Funktion, von der die TR abgeleitet ist.

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