Frage von ITanfaenger93, 68

tan(x) * sin(x) - 4 sin(x) = - 3 cos(x)?

diese Gleichung soll ich lösen. So da habe ich nun ein Problem cos/sin=tan, aber diese möglichkeit gibt es hier nicht, welche zusammenänge zwischen gibt es noch zwischen tan, sin und cos? Irgendeinen muss es ja geben!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathe, 37

(tan x) * (sin x) - 4 sin x                       = - 3 cosx         | tan = sin/cos
(sin x/ cosx) * sinx - 4 sin x + 3 cos x  =  0                  | /cos x
(sin² x / cos² x)  - 4 tan x     + 3            = 0
tan² x      - 4  tan x       + 3                    = 0                  | Subst. z = tan x
           z²      - 4 z   + 3                          = 0                  |  p = -4      q = 3
                                            z₁,₂           =  2 ± 1
                                            z₁              =  3
                                            z₂              =  1

Resubstitution:       x₁ = tan⁻¹ (3) = 71.57°
                               x₂ = tan⁻¹ (1) = 45°

Probe

  1. tan 71.57 * sin 71.57° - 4 * sin 71.57° = -4.588
    -3 cos 71.56°                                       = -0.9489

  2. tan 45° * sin 45° - 4 sin 45°                 = -2.121
    -3 cos 45°                                            = -2.121
      
  3.                           
    Nachdem ich nun die Probe gemacht habe, sehe ich, dass es für 45° genau stimmt, für 71,57° aber nicht. Im Augenblick kann ich nicht ermessen, ob ich mich verrechnet habe oder ein Effekt da ist wie beim Lösen von Wurzelgleichungen, wo ja auch manche Ergebnisse nicht stimmen und einer Probe bedürfen. 
    Da muss ich nochmal drüber nachdenken
  4. (Der Tabellator im Editor spinnt.)
                                              



Kommentar von Volens ,

Nach Durchsicht einiger Literatur habe ich jetzt die Erkenntnis, dass es durchaus notwendig ist, die Proben durchzuführen und nichtexistente Lösungen wieder auszuschließen. Das ist also nicht auf Wurzeln beschränkt, und zwar mit ähnlicher Begründung: bei notwendigen Rechnungen, die nicht in den Winkelfunktionen selber begründet sind (z.B. Substitutionen und ihre Wiederauflösung), kann es beim Hin- und Herrechnen zu nichtdefinierten Operationen kommen.

Von daher erkläre ich 45° zur gültigen Lösung.

Kommentar von fjf100 ,

z^2 - 4 *z+3=0 ist eine Parabel oben offen und 2 Nullstellen

z=1 und z2=3 ein Z1,2 gibt es nicht

Hab ich in meinen Graphikrechner (Casio) eingegeben.

Kommentar von Volens ,

Und diese beiden Nullstellen sind +1 und +3.
Sie sind beide Arcus tangens bei der Resubstituierung.
Was also wolltest du da eben zum Ausdruck bringen?

Kommentar von henzy71 ,

tan 71.57 * sin 71.57° - 4 * sin 71.57° = -4.588

bei mir ist das nicht -4.588 sondern -0.9489 und kommt damit schön überein mit -3 cos 71.57.....

Gruß

Henzy

Kommentar von ITanfaenger93 ,

Danke für ausführliche Erklärung!

zwei fragen habe ich allerdings:

(tan x) * (sin x) - 4 sin x                       = -cos    | tan = sin/cos | +3

tut man nicht nur die +3 rüber um dann : cos zu rechnen?

(sin x/ cosx) * sinx - 4 sin x + 3           =  0               | /cos x

man muss nicht durch jedes durch cos teilen, nicht nur doch das *sin x und - 4 sin x, sondern auch nochnmal durch (sinx/cosx) ?

Danke nochmal :))

Kommentar von ITanfaenger93 ,

muss meine Frage verbessern:

(sin x/ cosx) * sinx - 4 sin x         =  -3 * cos (x)           | /cos x

(sin x²/ cosx) *- 4 sin x                =  0               | /cos x

man muss nicht durch jedes durch cos teilen, nicht nur doch das  - 4 sin x, sondern auch nochnmal durch (sinx²/cosx) ?

Danke nochmal :))

Kommentar von Volens ,

Du musst jeden additiven Term durch cos x teilen, wenn du beide Seiten der Gleichung korrekt behandeln willst.

Der erste heißt: (sin x/ cosx) * sinx ,
ausmultipliziert steht da (sin x * sinx) /cos x.
Nach der Division steht folglich sin²x / cos²x im Bruch.

4 sin x dividiert durch cos x ist natürlich: 4 tan x

Und bei 3 cos x / cos x  kürzt sich cos x weg. Es bleibt nur 3.

Vorne kann man aber dann sin²x/cos²x zu tan²x machen.
So hat man eine quadratische Gleichung für die Substitution.

Antwort
von henzy71, 20

So da habe ich nun ein Problem cos/sin=tan,

Das ist FALSCH!! tan = sin/cos und nicht umgekehrt.

wäre ja cool, wenn tan = cos/sin wäre, denn dann wäre tan * sin nichts anderes als cos....

Aber jetzt widmen wir uns mal der tatsächlichen Aufgabe:

tan(x)*sin(x) - 4 sin(x) = -3 cos(x)    | teilen durch cos (x)

tan (x)* sin(x)/cos(x) - 4 sin (x)/cos(x) = -3

tan² (x) - 4 tan(x) = -3

tan² (x) - 4 tan(x) +3 = 0

(tan (x) -3 ) * (tan (x) -1) = 0

tan (x) = 3 oder tan (x) = -1

x = invtan 3 oder invtan -1

x = 71,57° oder 315°

Gruß

Henzy

Kommentar von henzy71 ,

Korrektur ab hier:

tan (x) = 3 oder tan (x) = 1

x = invtan 3 oder invtan 1

x = 71,57° oder 45°

Gruß

Henzy

Kommentar von fjf100 ,

Auf der positiven x-Achse gibt es 4 Nullstellen.

x1=0,78534 x2=1,249 x3=3,9269 und x4=4,3906

x1=0,785 =57,57° und x2=1,249=71,57°

hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

Lösungen sind x1=0,78534 und x2=1,249 und x3=3,9269 und x4=4,3906

Diese Lösungen wiederholen sich auf der x-Achse periodisch.

Habe ich mit meinen Graphikrechner (Casio) gelöst.

TIPP : Besorge dir privat auch solch ein Ding,dann hast du zumindest in 5 Minuten die richtige Lösung.

Antwort
von Tavtav, 17

Sin/ cos = tan

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