Frage von u1u1u1, 50

Tangentengleichung mit nur einem Punkt bestimmen?

Hallo, gegeben ist die Funktion f(t)=0,125 t^3 - 1,5t^2 + 4,5t + 4 die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangenten t an den Graphen von f im Punkt Q (1 / 19/6). Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp gegeben wie ich diese Aufgabe löse? Vielen Dank

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Die gemeinte Tangente ist eine Gerade.

Ein Gerade hat die Form y = m * t + b

Dabei ist m die Steigung der Geraden bzw. Tangenten.

Die Tangente hat mit der Funktion f(t) gemeinsam, dass sie im Punkt (1 | 19 / 6) die gleiche Steigung haben.

Die Steigung einer Funktion an einer Stelle x wird durch die 1-te Ableitung bestimmt.

Daraus folgt, dass der Parameter m denselben Wert haben muss wie die 1-te Ableitung der Funktion f(t) im Punkt (1 | 19 / 6)

Der Parameter b der Tangente lässt sich nach dem ermitteln von m einfach aus dem Punkt (1 | 19 / 6) berechnen.

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Auf dein Beispiel angewendet -->

f(t) = 0.125 * t ^ 3 - 1.5 * t ^ 2 + 4.5 * t + 4

f´(t) = 0.375 * t ^ 2 - 3 * t + 4.5

Tangente -->

y = m * x + b

Bekannt ist der Punkt (1 | 19 / 6)

f´(1) = 0.375 * 1 ^ 2 - 3 * 1 + 4.5 = 1.875

Daraus folgt, dass der Parameter m der Tangentengeraden den Wert

m = 1.875

bzw.

m = 15 / 8

hat.

Der Parameter b der Tangentengeraden lässt sich nun aus dem Punkt (1 | 19 / 6) berechnen -->

Zur Erinnerung --> y = m * t + b

19 / 6 = (15 / 8) * 1 + b | - 15 / 8

19 / 6 - 15 / 8 = b

152 / 48 - 90 / 48 = b

b = 62 / 48

b = 31 / 24

Damit lautet deine Tangente -->

y = 15 / 8 * t + 31 / 24

Kommentar von fjf100 ,

Hast dich verrechnet ! Tangentengleichung ist y=1,875 * t + 5,25

Mach die probe mit t=1 f(1=7,125 und y(1)=7,125

Tangentengleichung und Normalengleichung stehen im Mathe-Formelbuch Kapitel "Differntialgeometrie"

Tangentengleichung ft(x)=f´(xo) *(x -xo)+f(xo)

xo ist der x-Wert,wo die Tangente anliegen soll

Normalengleichung fn(x)= - 1/f´(xo) * (x -xo) + f(xo)

Kommentar von DepravedGirl ,

1,875 * 1 + 5.25 = 7.125

Der Punkt lautet aber (1 | 19 / 6)

19 / 6 sind 3.166666.....

Du hast 7.125 raus, es soll aber 19 / 6 rauskommen oder spinne ich gerade ??

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich habe jetzt des Rätsels Lösung gefunden !

Der Fragesteller hat eine verkehrte / falsche Funktion f(t) gepostet, die Funktion f(t), die der Fragesteller genannt hat, geht nicht durch den Punkt (1 | 19 / 6), der Fragesteller hatte sich also verschrieben.

Kommentar von fjf100 ,

Laut Mathe-Formelbuch,braucht man zur Aufstellung der Tangentengleichung und der Normalengleichung nur den x-Wert,wo diese Gleichungen anliegen/durchgehen sollen.

ich denke,die Angaben im Mathe-Formelbuch sind richtig.

Wenn der Fragesteller einen Punkt P (1/2/3) angibt,dann stimmt da was nicht.

Meistens ist dann wie hier xo=1 

Ansonsten muss in der Aufgabenstellung der x-Wert eindeutig angegeben sein,sonst kann man nicht rechnen.

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, der Fragesteller hat sich irgendwo bei seiner Funktion verschrieben, seine Funktion geht nicht durch den Punkt (1 | 16 / 9), weshalb jede mit seiner Funktion zu falschen Ergebnissen führt, was mir passiert ist, das hätte ich von Anfang an prüfen sollen, ob seine Funktion auch wirklich durch den Punkt (1 | 16 / 9) geht.

Das kommt bei blindem Vertrauen heraus ;-))

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Zur Bestimmung der Tangentengleichung,braucht man nur den x-Wert,wo die Tangente anliegen soll.

Aus den Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentialgeometrie"

Tangentengleichung ft(x)=f´(xo) * (x - xo)+f(xo)

bei dir ist xo=to=1 

f´t)=0,375 *t^3 - 2 *t^2 +4,5  mit to=1 ist f´(to)=1,875

f(to=0,125 * 1^3 -1,5 *1^2 + 4,5 * 1 + 4=7,125 eingesetzt

ft(t)=1,875 * (t - to) +7,125=1,875 * t - 1,875 +7,125=1,875 * t +5,25

Probe ft(to=1,875 * 1 + 5,25=7,125 und f(to=0,125*1^3-1,5*1+4,5*1+4=7,125

Normalengleichung ist fn(t)= - 1/f´(to) * (t - to)+f(to)

Die Normale steht senkrecht auf der Tangente und bildet somit mit ihr einen 90° Winkel.

Das Mathe-Formelbuch bekommst du privat in jeden Buchladen,z,Bsp. wie den "kuchling"

Antwort
von UlrichNagel, 20

Na einfach Tangentengleichung y=mt +n

Mit f(t) ' die Steigung in (1 , 19/6) bestimmen und in yT einsetzen, dann bekommst du auch n

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