Frage von HungRhapsodyNo2, 18

Tangentengleichung aufstellen, wenn Punkt nicht dem Graph von f liegt?

Gegeben ist die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x und der Punkt Q (1|2). Die allgemeine Tangentengleichung lautet: t: y=f´(u)(x-u)+f(u)

Ich setze also mein x-/y-Wert und die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung ein: t: 2=e^x(1-u)+e^x t: 2=e^x-ue^x+e^x t: 2=2e^x-ue^x

Jetzt bin ich ratlos, wie soll ich nun vorgehen?

Antwort
von Rowal, 6

Der Ansatz ist schon richtig:
y=f´(u)(x-u)+f(u)
Setzt man f(u)=e^u, f'(u)=e^u ein erhält man:
y = e^u * (x - u + 1)
Sezt man jetzt x=1 und y=2 hat man:
2 = e^u * (2-u)
Hieraus sieht man sofort eine Lösung, nämlich u=0.
Die zugehörige Tangente geht also durch (0;1) und damit ist die Tangentengleichung
y = x + 1 ;

Jetzt hat die Gleichung
2 = e^u * (2-u)
aber noch eine 2. Lösung. Diese läßt sich aber nur numerisch berechnen. Es ist u2 = 1,593...
Der zugehörige Punkt, durch den diese Tangente geht, ist (u2; e^u2). Mit der 2-Punkteform hat man also auch diese Tangente.



Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 4

Dass mit den eingesetzten Werten alles u heißen muss, ist ja klar:
Jetzt musst Du 2=2e^u-ue^u nach u auflösen...

Hier wird wohl nur ein Näherungsverfahren weiterhelfen können.
(u=0 könnte man noch so erkennen, aber dann ist Ende...)
letztendlich sind die Lösungen u=0 und u=1,59 (habe hier mal "wolframalpha" zu rate gezogen!).

Und somit lauten die Tangenten: y1=x+1 und y2=e^1,59 * x - 0,59e^1,59

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 11

 u und x darf doch da gar nicht auftreten

guck mal 2.Teil

Kommentar von HungRhapsodyNo2 ,

UPS mir ist ein riesen Fehler unterlaufen. Es heißt immer e^u, nicht e^x. Hab es wohl aus Gewohnheit  mit x bezeichnet ...

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