Frage von gizem271116, 21

Tangente h bestimmen?

Wir sollen die Steigung der Tangente rechnen funktion ist x hoch 3 und die punkte P (1/1) Habe schon angefangen mit f (1×h)-f (1)/ h und (1+h)hich 3 -1 hoch 3 / h am ende bin ich auf h (3+h)'2 gekommn und denke man ds dann 3 bionomosche formel kommt aber weiß nicht mehr weiter

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 3

Gegeben: Funktion f mit f(x) = x³

Gesucht: Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1|1)

Lösungsweg:

Zunächst müssen wir die Ableitung von f an der Stelle x=1 bestimmen. Da wir noch keine Ableitungsregeln kennen, werden wir dies mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten bewerkstelligen.

Für den Differenzenquotienten / die Sekantensteigung ms gilt

ms = [ f(1+h) - f(1) ] / h

= [ (1+h)³ - 1³ ] / h ... wir wissen: x³ = x²x

= [ (1+h)²(1+h) - 1 ] / h ... wir wissen: (a+b)²=a²+2ab+b²

= [ (1+2h+h²)(1+h) - 1 ] / h ... wir wissen: (a+b)(c+d)=(a+b) * c + (a+b) * d

= [ (1+2h+h²) * 1 + (1+2h+h²) * h - 1 ] / h

= [ 1+2h+h²+h+2h²+h³ - 1 ] / h

= [ 3h+3h²+h³ ] / h ... ausklammern von h

= [ h(3+3h+h²) ] / h ... kürzen von h

= 3+3h+h²

Nun können wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0 bestimmen und erhalten dadurch unsere Tangentensteigung

lim{h->0} (ms) = lim{h->0} (3+3h+h²)

= 3+3 * 0 + 0² = 3 = mt (Tangentensteigung)

Für die Tangente t gilt die Gleichung

t(x) = mt * x + c mit mt = 3 und t(1) = 1

Einsetzen liefert

1 = 3 * 1 + c

1 = 3 + c, also c = -2

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1|1) ist dann

t(x) = 3x - 2

Antwort
von poseidon42, 11

Also sei f(x) = x^3 die Funktion die wir nun betrachten wollen.

Wir wissen x^3 ist ein Polynom und damit beliebig oft stetig differenzierbar. Wir berechnen nun zunächst die Steigung der Tangente an den Graphen indem wir ersteinmal die erste Ableitung bestimmen:

f´(x) = 3x^2   nach der Ableitungsregel für Polynome beliebigen Grades.

Wir wollen nun die Steigung im Punkt P(1|1) bestimmen, wir setzen also ein:

f´(1) = 3*1^2 = 3    die Steigung der Tangenten im Punkt P an f besitzt also die Steigung 3.

Mit der Tangentengleichung:   g(x) = f(x_0) + f´(x_0)/(x - x_0)

folgt mit x_0 = 1 also :

g(x) = f(1) + f´(1)(x-1) = 1 + 3*(x - 1)

Auflösen der Klammer liefert schließlich:

g(x) = 3x - 2  ; dies ist damit die gesuchte Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkte P(1|1).

Kommentar von poseidon42 ,

Manuell mit dem Differenzenquotienten folgt:

Wir stellen zunächst fest, dass f ist stetig auf ganz IR, da es sich um ein Polynom handelt. Nun verwenden wir die Definition des Differenzenquotienten:

f(x) = x^3

--> (f(1+h) - f(1))/h = ((1+h)^3 - 1)/h = ((1 + 2h + h^2)(1+h) - 1)/h

= (h^3 + 3h^2 + 3h + 1 - 1)/h = 3 und für h --> 0 folgt damit mit der Definition des Differenzenquotienten und der Stetigkeit von f:

f´(1) = 3

Die übrigen Schritte verlaufen analog zu meiner vorherigen Erklärung.

Allgemein würde die Ableitung mit dem Differenzenquotienten wie folgt ablaufen:

(x+h)^3 - x^3 = ((x^2 + 2hx + h^2)(x+h)) - x^3

= x^3 + 2hx^2 + xh^2 + hx^2 + 2xh^2 + h^3 - x^3

= 3hx^2 + 3xh^2 + h^3

und mit   (3hx^2 + 3xh^2 + h^3)/h = 3x^2 + 3xh + h^2

mit der Stetigkeit von f und h-->0 folgt:

3x^2 + 3xh + h^2 ---> 3x^2

Wobei dies nach Definition des Differenzenquotienten der ersten Ableitung gleichkommt und es gilt:

f´(x) = 3x^2

Kommentar von poseidon42 ,

Achja und noch als kleiner "handlicher Trick" zum berechnen von Polynomen der Gestalt:  (x + k)^n

Betrachte das Pascalsche Dreieck:

                                              1

                                          1  2  1

                                        1  3   3  1

                                      1  4   6   4  1

                                    1  5 10  10  5  1  

                               ... usw.

Um nun zum Beispiel (x+k)^3 zu berechnen, betrachte einfach die 3-te Zeile des Pascalschen Dreiecks und es gilt:

(x+k)^3 = 1*x^3*k^0 + 3*x^2*k^1 + 3*x^1*k^2 + 1*x^0*k^3

Das Muster für die Gleichung lautet also:

(x+k)^n = 1*x^n *k^(n-n) + P(n,2)*x^(n-1)*k^(n-n+1) + ... + P(n,n)*x^(n-n)*k^(n-n+n)

Dabei ist P(n, k)  die Zahl in der n-ten Zeile und k-ten Spalte.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 11

du musst (1+h)³ = (1+h)² • (1+h) ganz asurechnen

= (1+2h+h²)(1+h) = .........

Antwort
von Naydoult, 12

Nochmal ein wenig übersichtlicher.

Du nimmst also den Differentialqiotienten und willst an der Stelle P(1/1) berechnen der Funktion x³ ?!

An Deiner Stelle würde ich am Anfang (1+h)³ vereinfachen, dann einfach ganz normal vereinfachen.

Antwort
von MatthiasHerz, 13

Du brauchst die erste Ableitung der Funktion.

Lies bei http://www.onlinemathe.de/forum/Tangente-zu-Funktionsgraphen-bestimmen nach. Da hast Beispiele und Lösungen.

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