Frage von bitteh, 33

Symmetrie von ganzrationalen Funktionen nachweisen, aber wie genau mache ich das?

Hello ich habe eine ganz dringende Fragen zu den Aufgaben unter mir

1.x • (x^2-5). 4.(x-1)(x-2). 7.(x-1)3+3x^2+1

2.(x-2)2+1. 5. 1/3x^3(6-x^2). 8.(1-3x^2)^2

  1. x(x-1)(x+1). 6. (2-x)^2(2+x)^2. 9. (x-x^2)^2

Die Aufgabenstellung lautet : Prüfen Sie, ob die ganzrationale Funktion f gerade oder ungerade ist. Welche Aussage ergibt sich über das symmetrieverhalten des Funktionsgraphen?

Zu meiner Frage: Jetzt weiß ich nicht wie ich anfangen soll...Ob ich die Klammer zuerst auslösen...oder f(-x)=-f(x) ect machen soll oder beides? Ich bin verwirrt. Kann mir jemand bitte erklären wie ich diese Aufgabe lösen soll, vllt sogar ein Beispiel nehmen und es in Schritten ausrechnen damit ihr ein Überblick habe?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 16

Hallo,

multipliziere die Terme aus.

Hast Du es nur mit geraden Exponenten zu tun, also etwas in der Form ax^6+bx^4+cx^2+d oder so, ist die Funktion gerade (achsensymmetrisch zur y-Achse).

Kommen dagegen nur ungerade Exponenten ohne ein absolutes Glied vor wie etwa ax^5+bx^3+cx, hast Du es mit einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion zu tun.

Symmetriezentrum: Ursprung des Koordinatensystems.

Es gibt auch Symmetrien zu anderen Achsen und Punkten, die dann aber nicht ohne weiteres ablesbar sind.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von bitteh ,

 Ja aber ich weiß nicht wie ich das ausmultiplizieren soll... z.b bei den  Aufgaben (2-x)^2(2+x)^2  und (x-x^2)^2 

bin ich ratlos

Kommentar von Willy1729 ,

Hier kannst Du die dritte binomische Formel anwenden:

(a+b)*(a-b)=a²-b²

a ist in diesem Fall (2-x) und b ist (2+x)

(2-x)²*(2+x)² ist dasselbe wie [(2-x)*(2+x)]²

(2-x)*(2+x) ergibt 4-x²

Du hast also (4-x²)², das nach der zweiten binomischen Formel

16-8x²+x^4 ergibt. Du hast hier also eine gerade Funktion.

Kommentar von bitteh ,

 Dankeschön :) und bei (x-x^2)^2 kommt x^2-2x^3+x^4 raus oder? 

Kommentar von Willy1729 ,

Genau.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Schule, 21

Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse, ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Für gerade Funktionen gilt somit: f(x) = f(-x)
und für ungerade Funktionen: f(-x) = -f(x)

Stelle diese Gleichungen auf und setze dann die entsprechenden Funktionen ein.

Wenn du eine wahre Aussage (3 = 3, 5 = 5, o. ä.) erhältst, ist die Funktion entsprechend gerade oder ungerade.

LG Willibergi

Kommentar von bitteh ,

 Ja aber ich weiß nicht wie! Könntest du mir das am Beispiel von (2-x)^2(2+x)^2 und  (x-x^2)^2 zeigen und erklären 

Kommentar von Willibergi ,

f(x) = (2 - x)²(2 + x)²

Überprüfen auf Achsensymmetrie:

f(x) = f(-x)

(2 - x)²(2 + x)² = (2 - (-x))²(2 + (-x))²          | Vorzeichen vereinfachen

(2 - x)²(2 + x)² = (2 + x)²(2 - x)²                 | Vertauschen

(2 - x)²(2 + x)² = (2 - x)²(2 + x)²          w. A.

Das ist eine wahre Aussage, also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, also gerade.

Auch wenn wir schon ausschließen können, dass die Funktion zusätzlich noch punktsymmetrisch ist, möchte ich es dir dennoch als Veranschaulichung zeigen:

f(-x) = -f(x)

(2 - (-x))²(2 + (-x))² = -(2 - x)²(2 + x)²      | Vorzeichen vereinfachen

(2 + x)²(2 - x)² = -(2 - x)²(2 + x)²

Jetzt können wir gemäß der ersten/zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

Also:

(2 + x)²(2 - x)² = -(2 - x)²(2 + x)²

(2² + 2*2*x + x²)(2² - 2*2*x + x²) = -(2² - 2*2*x + x²)(2² + 2*2*x + x²)

(4 + 4x + x²)(4 - 4x + x²) = -(4 - 4x + x²)(4 + 4x + x²)

Klammern ausmultiplizieren:

4*4 + 4x*4 + x²*4 + 4x*4 - 4x*4x + 4x*x² + x²*4 - x²*4x + x²*x² = -(4 - 4x + x²)(4 + 4x + x²)

16 + 16x + 4x² + 16x - 16x² + 4x³ + 4x² - 4x³ + x⁴ = -(4 - 4x + x²)(4 + 4x + x²)

x⁴ - 8x² + 32x + 16 = -(4 - 4x + x²)(4 + 4x + x²)

x⁴ - 8x² + 32x + 16 = -(x⁴ - 8x² + 32x + 16)

Und dass das nicht gleich ist, ist offensichtlich. ;)

LG Willibergi

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