Frage von Lupars, 52

Surjektivität und Injektivität zeigen - welche Wege kann man gehen?

Nabend,

ich frage mich zur Zeit, welche Wege man gehen kann, um Injektivität und Surjektivität zeigen kann.

Injektivität zeige ich meist mit Monotonie, zeige die Definition (bei linearen Funtkionen) oder "friere" einen Wert ein, beispielsweise bei Funktionen IR^2 -> IR) - oder ich nenne ein Gegenbeispiel

Bei Surjektivität gehe ich nach der Definition und den gegeben Mengen (Definitionsbereich, Bildbereich) oder untersuche die Funktion nach einem Supremum oder Infimum.

Da dies nicht unbedingt ausreichend ist, würd ich gerne wissen, welche Wege man noch gehen kann?

Bin gespannt auf eure Vorgehensweisen!

Antwort
von JonasV, 43

Bei Injektivität kann man einfach ein x!=y nehmen und annehmen, dass f(x)=f(y). Dann musst du daraus herleiten, dass x=y, um einen Widerspruch zu erzeugen. Alternativ kannst du natürlich strenge Monotonie zeigen.
Für Surjektivität kannst du bei stetigen Funktionen f die Grenzwerte betrachten. Nach Zwischenwertsatz ist die Funktion bei passenden Grenzwerten (unendlich, -unendlich) surjektiv.

Kommentar von Lupars ,

Sehr schöne Antwort :) Beweis durch Widerspruch ist natürlich auch gut

Also wenn ich bei einer funktion den lim x -> -unendlich f(x) = -unendlich und lim x -> unendlich f(x) = unendlich erhalte, so kann ich daraus die Surjektivität aufzeigen? Genial!

Kommentar von JonasV ,

Ja, solange die Funktion stetig ist :) denn dann gibt es für jedes intervall [a,b] und für jedes x aus [f(a),f(b)] ein c aus [a,b] mit f(c)=x

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