Frage von kaiuwe97, 40

Injektivität nachweisen?

Hallo zusammen, ich habe irgendwie gerade eine Denkblockade. Und zwar soll ich die Injektivität von der Abbildung: C -> C, z |-> f(z) = ~z (konjugiertes z) nachweisen. | C = komplexe zahlen

Ich bin schn soweit. das gelten muss f(z1) = f(z2) -> z1 = z2

also: a - ib = c - id

Aber wie forme ich das um so dass ich auf a + ib = c + id komme ???

Antwort
von eddiefox, 14

Hi,

Vorsicht, wenn du beweist, dass aus f(z1) = f(z2) : z1 = z2 folgt, dann beweist du die Injektivität von f. In der Überschrift sprichst du von Surjektivität.

Aber eigentlich egal, da die Funktion bijektiv ist.

Ich schreibe es mal so:

Seien z , w ∈ ℂ,   f : z → z*   (* = konjugiert).

f(z) = f(w) ist die Gleichung z* = w*.|*  =>

(z*)* = (w*)*  =>  z = w, also f injektiv.

Im Übrigen sind zwei komplexe Zahlen gleich, genau wenn ihre Real- und Imaginärteile übereinstimmen.

Nun die Surjektivität:

sei z ∈ ℂ eine beliebige komplexe Zahl.

Dann gilt f(z*) = (z*)* = z, z ist also Bild von f, also ist f surjektiv.

Gruß

Kommentar von kaiuwe97 ,

Ja ich hab mich in der Überschrift verschrieben. Die Surjektivität hatte ich bereits. Bis " f(z) = f(w) ist die Gleichung z* = w* " hab ich alles verstanden. Aber warum wird danach das konjugierte z und w noch einmal konjugiert?

Kommentar von eddiefox ,

weil man zeigen will, dass z = w folgt.

Bei der Gleichung z* = w* ist man mit dem Beweis noch nicht fertig.

Kommentar von kaiuwe97 ,

Ok wie könnte man dass entsprechend auf die Form z= a+ib w= c +id bringen?

Ginge: a-ib = c-id => a-(-ib) = c -(-id) => a+ib = c + id?

Kommentar von eddiefox ,

Ja. Du müsstest nur begründen, warum du -ib durch -(-ib) ersetzt.

Die Begründung ist die Konjugation: wenn zwei komplexe Zahlen gleich sind, dann sind auch die Konjugationen der Zahlen gleich.

Also aus a-ib = c-id    folgt (a-ib)* = (c-id)*, d.h.
(a-(-ib)) = (c-(-id)), also a+ib = c+id.

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