Frage von Lupars, 43

Surjektivität einer Funktion?

Hallo,

Ich habe eine sehr gruselig aussehende Funktion auf meinem Übungszettel für die Uni.

Da ich diesen noch abgeben muss, möchte ich ungern diese hier präsentieren, aber eine Frage zum Aufzeigen der Surjektivität ist trotzdem da:

Kann ich die Surjektivität durch eine Umkehrfunktion aufzeigen, auch wenn meine Funktion nicht injektiv ist?

Wenn ja, wie mache ich das, beispielsweise für f((x,y),(a,b) := ((xb + y/b),(xa - x*b))? (Lösungsansätze reichen, komplette Lösungsweg wäre gut, aber ein Lösungsansatz würde mir erstmal genug helfen )

Wenn nicht, wie mache ich das dann? Ich kann leichter die Injektivität mittels Definition zeigen, als die Surjektivität(Für jedes y \in Y existiert ein x \in X : f(x) = y).

PS: Gibt es eine Mathematik-Umgebung in diesem Forum? Wenn nicht, LaTeX-Syntax verwenden bitte, falls es mit den benötigten Zeichen nicht anders klappt, ohne das es unübersichtlich wird.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 43

Ein paar spontane Gedanken, die zwar noch keine Lösung bringen, Dich aber evtl. etwas weiter führen:

"Kann ich die Surjektivität durch eine Umkehrfunktion aufzeigen, auch wenn meine Funktion nicht injektiv ist?" Wie willst Du eine Umkehrfunktion finden, wenn die Funktion nicht injektiv ist? Das ist doch ein Widerspruch.

Anders herum: wenn eine Funktion nicht injektiv ist, kann sie doch trotzdem surjektiv sein [z.B. f: IR -> IR, x -> (x+1)²(x-2)]. Für mich hat das eine mit dem anderen wenig zu tun.

Und: Vielleicht hakt es manchmal ja auch daran, dass man "nur" zeigen muss dass es zu jedem y (irgend)ein x gibt - das x muss ja nicht unbedingt eindeutig sei.

Wie gesagt, nur ein paar Gedanken...

Kommentar von Lupars ,

Mein Gedanke dabei ist immer f(x) mit der Abbildungsvorschrift zu ersetzen und dann diese gleich y  zu setzen, und dann umformen. Das was ich dann herausbekomme vergleiche ich mit der Abbildungsvorschrift und dem Wertebereich 
Beispielsweise bei f(x) = x^2, IR -> IR:
y = x^2 <=> \sqrt{y} = x
Da \sqrt{-y} nicht in IR liegt, ist diese Funktion nicht surjektiv.
So bin ich bisher immer vorgegangen. Ob es richtig war/ist, weiß ich leider nicht ganz

Kommentar von KDWalther ,

Bei dieser konkreten Funktion hätte ich anders argumentiert:

Da steht ja: f: IR -> IR.
Aber: x² >= 0. Also ist die Wertemenge von f IR+. Somit kann f nicht surjektiv sein.
Oder etwas anders: sei y < 0. Dann führt die Gleichung y = x² zum Widerspruch.

Bei der von mir aufgeführten Funktion (zugegeben: einfacher als Dein Beispiel aus Deiner Frage) würde ich mit Stetigkeit und Globalverhalten argumentieren.

Einen Tipp zu geben, der immer funktioniert, fällt mir allerdings schwer :-(

Kommentar von Lupars ,

Naja, Stetigkeit ist nun leider noch nicht das Thema, das wird aber früher oder später noch kommen.... yay....
Ich würde nun bei meiner Aufgabe überprüfen, ob es für die Wertemenge IR+ und IR- ein x gibt. Würde ab hier meine Funktion preisgeben, welche ich bearbeite.  Vllt kannst du mir ja sagen, ob es Sinn machen würde, so vorzugehen, wie ich eben sagte.  
f: (IR^2 x IR^2) -> IR^2 , mit f((a1, a2),(b1,b2)) := (a1b1-a2b2 , a1 b1+a2 b1).*

*Da es ein wenig unübersichtlich ist: es handelt sich nur um Variablen. Nur damit Missdeutungen ausgeschlossen werden können :).

Sprich y ist ein Tupel - was mir teilweise auch ein Problem bereitet bei der Surjektivität - hatte es mit Termumformung versucht, Werte eingesetzt um eine gewisse Vorstellung zu bekommen.

 

Die Nicht-Injektivität habe ich gezeigt, indem ich f(x_1) und f(x_2) = (0,0) laufen lassen habe., also b1 = b2 = a'1 = a'2 = 0 festgelegt:

 f(a1,a2),(0,0) = 

f(0,0),(b'1,b'2) => x_1 != x_2.

 Ich denke nicht, das es ein formal sauberer Beweis ist, zumindest habe ich aber gezeigt, das es nicht injektiv ist.

Hmm Schade, da du mir keinen Tipp geben kannst, welche immer funktioniert, wobei mir da sich die Frage stellt, gibt es überhaupt einen Tipp dieser Art?

Wenn du nochmal rüberschauen magst, und evtl eine Lösung hervorbringen könntest, damit ich zumindest weiß, wie man das richtig zeigen könnte, ob diese Funktion surjektiv ist (oder nicht), so könnte ich - hoffentlich - aus dieser lernen.

Zettel wird morgen um 8 abgegeben, sind lediglich ein paar Punkte die verloren gehen, insgesamt sollte es aber keine Probleme geben.

Lösungsansätze oder gar der Lösungsweg oder evtl eine mögliche Vorgehensweise würde mir da schon helfen - wäre also vom großem Nutzen für mich, wenn du deine Gedanken teilst.

Zu deinem Beispiel: Ich werde mal versuchen in Zukunft so zu argumentieren, auch nochmal bei meiner Aufgabe.

Ab hier erstmal vielen Dank für die bisherigen Antworten!

Da steht ja: f: IR -> IR.
Aber: x² >= 0. Also ist die Wertemenge von f IR+. Somit kann f nicht surjektiv sein.
Oder etwas anders: sei y < 0. Dann führt die Gleichung y = x² zum Widerspruch.

Kommentar von Lupars ,

Meine natürlich f(x_1) = f(x_2)!

f(0,0),(b'1,b'2) => x_1 != x_2.

Kommentar von KDWalther ,

Hallo Lupars,

ich war am 18. nicht mehr im Netz, dann war' für den Abgabetermin zu spät.
Aber: Die Sache lies mir keine Ruhe. Daher habe ich mir gerade mal Gedanken gemacht.
Formal (soweit der Editor und meine Kenntnisse Editierkenntnisse das zulassen) beginnen würde ich mit:

Sei y = (y1, y2) aus IR².
Zu zeigen: Es gibt a=(a1, a2) aus IR² und b=(b1, b2) aus IR² mit: f(a,b)=y.

Um Erkenntnisse über a und b zu gewinnen, habe ich mal (mehr oder weniger willkürlich) nach a1 und a2 aufgelöst:

y1 = a1b1 - a2b2  <=> (y1 + a2b2) / b1 = a1
y2 = a1b1 + a2b1  <=>  y2 / b1 - a1 = a2

Nun will ich die Bruchterme soweit es geht vereinfachen (ohne dass y1 bzw. y2 herausfallen). Also setze ich:
b1 := 1   b2 := 0

=>  y1 = a1  sowie  y2 - a1 = y2 - y1 = a2

Damit ergibt sich: a = (y1, y2-y1) und b=(1 , 0)

Das wäre eine mögliche Lösung für die Gleichung f(a,b) = y.
Ob es weitere Lösungen gibt, interessiert nicht.

Da y1, y2 beliebig, ist f surjektiv    q.e.d.  bzw.    :-))))

Okay, meine Lösung kommt spät, aber sie kommt...

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