Frage von JulianABC, 27

Supremum, Infimum einer Funktion?

Hallo,

  • Ich soll sagen ob diese Aussage stimmt: inf f(x)=0 und max f(x) =^1
  • Bei der Funktion: (e^x)/(1+e^x) x € R
  • Wie gehe ich da vor? Ich habe versucht Nullstellen zu finden aber konnte keine finden.
Antwort
von NoTrolling, 14

Spiegelung an der y-Achse liefert f*(x)=1/(e^x+1) Diese Funktion ist eindeutig streng monoton fallend in ganz IR und damit existieren keine Extrema.

Du kannst dir überlegen, dass f*(x) für x-> -unendlich gegen Eins und für 
x -> unendlich gegen Null geht.

Also: inf f(x)=0 und sup f(x)=1

Aber max f(x) != 1

Antwort
von hairybear, 14

Schau mal hier:

http://www.onlinetutorium.com/advanced_search_result.php?keywords=supremum&c...

Ich habe diesen Infimum quatsch immer gehasst, aber leider kommt es immer wieder in den Klausuren vor.

Antwort
von Melvissimo, 12

Du kannst die Funktion umschreiben zu:

(e^x + 1 - 1) / (1 + e^x) = 1 - 1 / (1 + e^x).

Der Term 1 / (1 + e^x) konvergiert nach rechts hin gegen 0 und nach links hin gegen 1. Benutzt du die strenge Monotonie der Funktion, so siehst du:

sup f(x) = 1 und inf f(x) = 0.

Es ist aber leicht zu zeigen, dass weder 1 noch 0 wirklich angenommen werden, also gibt es weder max f(x) noch min f(x).

Kommentar von JulianABC ,

Für das Konvergieren überprüft man einfach wieder dir Grenzwerte gegen + und - unendlich oder?

Kommentar von Melvissimo ,

Genau.

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