Frage von Schueler0812, 56

Summengleichung umstellen so richtig u. vollständige Induktion?

Hallo, ich bin mir da irgendwie bisschen unsicher. Also ich habe folgendes

     n  
(q-1)∑ Q^k =Q^n+1 -1
    k=0

Wenn ich das jetzt umstelle also die (Q-1) nach vorne hole dann habe ich doch:

n
∑ Q^k * (Q-1)
k=0

Dann Klammer auflösen

 n                   
 ∑ Q^k+1 -Q^k  
k=0

also dann

 n                   
 ∑ Q^k+1 -Q^k = Q^n+1
k=0

Wie müsste ich dann bei der Vollständigen Induktion erweitern?

mit Q^n+1+1 - Q^n+1?

Antwort
von kreisfoermig, 8

Wozu brauchst du denn diesen stumpfen Hammer von Induktion?? Du hast ja alles schon in dem letzten Schritt vorhanden, was du benötigst. Bezeichne mit a[k] den k-ten Term qᵏ

 n                   n          n
∑ a[k+1] - a[k] = ∑ a[k+1] – ∑ a[k]
k=0 k=0 k=0

n+1 n
= ∑ a[k] – ∑ a[k]
k=1 k=0

n n
= (a[n+1] + ∑ a[k]) – (∑ a[k] + a[0])
k=1 k=1

= a[n+1] – a[0]

Dies ist eine sogenannte Teleskopsumme. Beachte, dass keine Induktion notwendig war, um diese Gleichung zu erhalten.

Aus dem o. s. erhält man speziell ∑qᵏ⁺¹–qᵏ = qⁿ⁺¹–q⁰ = qⁿ⁺¹–1.

Kommentar von Schueler0812 ,

Das war ne aufgabe im studium was ich brauchte.

Hab das dann durch hilfe dann geschafft.

Man kann es natürlich auch über stink normales Elementares rechnen machen.

aber trd. besten dank

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