Frage von Naydoult, 36

Summenformel, letzte Summe rauspacken beim Ende n+1?

Wieso ist ausklammert die Summe von 1 bin n+1 über (2n-1)² = Summe von 1 bis n über (2n+1)²? Genauso wie bei der Gaußschen Summenformel? Summe von 1 bis n+1 über n = Summe von 1 bis n über n+1

Bitte eine logische Erklärung, danke.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

Ganz stimmt es nicht:

n+1
 ∑ (2n - 1)² =  4n³/3  +  4n²  + 11n/3  + 1
 1  

n
∑ (2n + 1)² =  4n³/3  +  4n²  + 11n/3
1

Die Summen unterscheiden sich also genau um 1.
(Sagt Wolfram)

Der Umbau von (2n - 1) nach (2n + 1) bedeutet eine Verschiebung der Einzelglieder (ungerade Zahlen) um 2. Vorne fällt also die 1 heraus.
2n - 1 = 1     für n = 1.  Das Quadrat ist ebenfalls 1.
Ich vermute mal, dass diese 1 die Übriggebliebene ist, habe aber keine Meinung, das gegen 2 Uhr nachts zu beweisen.

Antwort
von wrglprmft, 13

Ich nehme an, es ist von

j=n+1
 ∑    (2j - 1)²    
j=1

die Rede. Das ist eine Summe aus n+1 Summanden. Jetzt soll der Index nicht mehr von 1 bis n+1 laufen, sondern von 0 bis n (das sind auch n+1 Summanden). Dazu schreibt man überall, wo jetzt j steht, k+1 und erhält

k+1=n+1              k=n             k=n
   ∑ (2(k+1) - 1)² =  ∑ (2k+2 - 1)² = ∑ (2k+1)²
k+1=1                k=0             k=0

Es ändert sich also nicht nur der Term und der Endindex, sondern auch der Startindex.

Kommentar von Volens ,

Das ist die andere Betrachtungsweise, wenn man nämlich ab Index 0 rechnet. Es stand aber so nicht in der Frage.

Kommentar von kreisfoermig ,

Es ist jedoch der richtige Umgang. Man soll hier eigentlich die Summen nicht ausrechnen, sondern bloß umformen. Die 0 in der Fragestellung fehlte wahrscheinlich aus Versehen seitens des Fragestellers. Genauso hätte er ja (2k–1) von k=1 bis n+1 schreiben müssen. Das ist ein typischer Syntaxfehler, die viele begehen.

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