Summenzeichen berechnen siehe Bild

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2 Antworten

Hallo,

die Idee ist folgende: die Summe ausgeschrieben lautet

S = -1² + 2² - 3² + 4² -5² + 6² - ... - 49² + 50²

Jetzt umordnen in

S = (2² - 1²) + (4² - 3²) + (6² - 5²) - ... + (50² - 49²)

Jetzt 3. binomische Formel anwenden:

S = (2-1)(2+1) + (4-3)(4+3) + (6-5)(6+5) + ... (50-49)(50+49)

   =   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 49 + 50

Es gilt also (Summen von 1 bis n)

∑(-1)ᵏ k² = ∑k = n(n+1) / 2

(Den Teil ∑k = n(n+1) / 2 habt ihr wahrscheinlich mit vollst. Induktion gezeigt. Ansonsten zeigen, geht schnell).

n = 50, also ∑(-1)ᵏ k² = 50 * 51 / 2 = 25 * 51

Das ausrechnen überlasse ich dir. ;-)

Gruss

Kommentar von Schueler0812
03.10.2016, 21:26

shit hätte ich auch drauf kommen können :D

vielen Dank

Das ist simpler als mit den anderen 2 sätzen ^^

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Kommentar von kreisfoermig
03.10.2016, 21:42

 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 49 + 50
Es gilt also (Summen von 1 bis n)
∑(-1)ᵏ k² = ∑k = n(n+1) / 2

Dieser Schritt und damit die Schlussfolgerung ist ungültig.

Es gilt eher (2k)²–(2k–1)² = (2k–(2k–1))(2k+(2k–1)) = 4k–1 und nicht k. Darum gilt ∑(-1)ᵏ k² = ∑4k–1 von k=1 bis 25 und nicht ∑k von k=1 bis 50.

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Kommentar von kreisfoermig
03.10.2016, 21:46

Ach so. Jetzt sehe ich ; ) Es ist ja dasselbe: 4k–1 = 2k + 2k–1, was ja mit dem übereinstimmt, was da steht.

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Kommentar von Schueler0812
03.10.2016, 21:49

Das aus

S = (2-1)(2+1) + (4-3)(4+3) + (6-5)(6+5) + ... (50-49)(50+49)

= 1+2+3+4+5....+49+50

resultiert ist doch im endeffekt

(2-1) (2+1) =1 Wert

(4-3)(4+3) =2 wert

hab ich doch richtig verstanden?

dann wären es 25 werte


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Bezeichne mit S(N,n) die Summe ∑ kⁿ für k=1 bis N und A(N,n) die alternierende Summe ∑ (-1)ᵏkⁿ.

Lemma 1. A(2N,n) = 2ⁿ⁺¹·S(N,n) – S(2N,n).  ⊣

Beweis. Man berechnet

A(2N,n) + S(2N,n)
= ∑(1+(-1)ᵏ)kⁿ für k=1 bis 2N
= ∑ (1+1)·kⁿ für k=1 bis 2N, k gerade
+ ∑ (1-1)·kⁿ für k=1 bis 2N, k ungerade
= 2·∑ kⁿ für k=1 bis 2N, k gerade
= 2·∑ (2k)ⁿ für k=1 bis N
= 2·∑ 2ⁿ·kⁿ für k=1 bis N
= 2·2ⁿ·∑ kⁿ für k=1 bis N
= 2ⁿ⁺¹·S(N,n).

Daraus folgt die Behauptung. QED.

Lemma 2. S(N,2) = ⅙·N·(N+1)·(2N+1). ⊣

Beweis. Einfache Rechentricks. (Siehe Literatur).  ⊣

Anhand Lemmata 1+2 erhält man also

A(2N,2) = 2²⁺¹·S(N,2) – S(2N,2)
= 2²·2·⅙·N·(N+1)·(2N+1)
– ⅙·(2N)·((2N)+1)·(2(2N)+1)
= 4·⅙·2N·(N+1)·(2N+1)
– ⅙·2N·(2N+1)·(4N+1)
= ⅙·2N·(2N+1)·(4·(N+1)–(4N+1))
= ⅙·2N·(2N+1)·3
= N·(2N+1)

Insbesondere

A(50,2) = A(2N,2) mit N=25
= N·(2N+1) mit N=25
= 25·51
= 1275

Darum ist die gesuchte Summe 1275.

================================

Hier eine anderer Ansatz, der zwar schneller ist, jedoch nur für den Exponenten n=2 funktioniert:

A(2N,2) = ∑(-1)ᵏk² für k=1 bis 2N
= ∑ 1·k² für k=1 bis 2N gerade
+ ∑ -1·k² für k=1 bis 2N ungerade
= ∑ (2k)² für k=1 bis N
– ∑ (2k–1)² für k=1 bis N
= ∑ (2k)²–(2k–1)² für k=1 bis N
= ∑ 4k–1 für k=1 bis N
= 4·∑k für k=1 bis N
– ∑1 für k=1 bis N
= 4·½·N·(N+1) – N
= N·(2N+1)

So kommt man auf dieselbe Formel oben.

Kommentar von Schueler0812
03.10.2016, 21:18

okay jetzt bin ich ein bissel buff :D

Die sätze hatten wir bisher noch nicht.

Vielen Dank :)

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