Frage von MatheRaph, 52

Suche Beispiel für eine nicht abzählbare Unendlichkeit

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 5

Suche Beispiel für eine nicht abzählbare Unendlichkeit

Die Menge ℝ der Reellen Zahlen ist ein Beispiel.

Das will ich etwas ausführen: Um zu klären, was eine nicht abzählbare Menge ist, will ich erst einmal klarstellen, was »abzählbar« bedeutet:

Eine Menge X heißt endlich, wenn die X ihre Mächtigkeit oder Kardinalität card(X) oder |X| eine natürliche Zahl ist.

Abzählbar unendlich heißt X, wenn

(1) |X| = |ℕ| = ℵ₀ (sprich »Aleph-Null«).

Vergleich von Mächtigkeiten

Ganz allgemein lassen sich zwei Mengen X und Y mit Hilfe von Abbildungen

(2.1) f: X → Y; x ↦ y

vergleichen. Dass f eine Abbildung ist, bedeutet

(2.2) ∀(x∈X)  ∃!(y∈Y): f(x) = y.

Dabei heißt »∃!« »existiert genau ein«. Bijektiv ist f dann, wenn diese Aussage auch umgekehrt gilt. Die Kardinalitäten lassen sich wie folgt vergleichen:

(3.1) |X| < |Y|    ⇔    ∄ f: X→Y und f surjektiv
(3.2) |X| > |Y|    ⇔    ∄ f: X→Y und f injektiv.

Randbemerkung: Sind |X| und |Y| endlich, sind alle Injektionen auch surjektiv und alle Surjektionen auch injektiv.

ℵ₀ and beyond

ℵ₀ ist, wie gesagt, die Mächtigkeit von ℕ, aber auch von ℤ, der Menge der Ganzen Zahlen.

Entgegen der Intuition ist sogar ℚ, die Menge der Rationalen Zahlen, obwohl es schon zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen und sogar schon zwischen zwei beliebig nahen Rationalen Zahlen ℵ₀ weitere rationale Zahlen gibt.

Nun könnte man sagen »unendlich ist halt unendlich«, aber mit Hilfe seines Diagonalarguments konnte Georg Cantor zeigen, dass sich bei jedweder Abbildung Reeller Zahlen auf die Natürlichen Zahlen immer eine finden lässt, die »hindurchschlüpft«, d.h. sich der Abbildung entzieht:

(https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_M%C3%A4chtigkeit_von_...)

Damit konnte er zeigen, dass eben nicht »unendlich halt unendlich« ist, sondern

(4) |ℝ| =: 𝔠 > ℵ₀.

Allgemein ist |𝒫(X)| > |X|, wobei 𝒫(X) die Potenzmenge von X ist, die Menge aller Teilmengen von X. 

Kontinuumshypothese

Mit ℵ₁ wird die nach ℵ₀ nächstgrößere Kardinalität bezeichnet, d.h.

(5) ∄α: ℵ₀ < α < ℵ₁.

Die Kontinuumshypothese besteht nun darin, dass

(6) ℵ₁ = 𝔠

ist, es also zwischen ℵ₀ und 𝔠 keine weitere Kardinalität mehr gibt.

Mathematiker des 20. Jahrhunderts haben versucht, (6) zu beweisen, und zwar auf der Grundlage der Mengenlehre von Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel zusammen mit dem sog. Auswahlaxiom, kurz ZFC genannt.

Nachdem Kurt Gödel hatte zeigen können, dass sich (6) aus ZFC nicht widerlegen lässt, konnte Paul Cohen 1963 auch zeigen, dass die ZFC (6) auch nicht beweisen kann.

Antwort
von sim46, 24

Menge der reellen Zahlen

Antwort
von ManuTheMaiar, 31

Die Rationalen Zahlen, bei den natürlichen kannst du ja noch zählen 1,2,3...1000....1000000...Gogol..., aber bei den rationalen Zahlen gibt es alleine schon zwischen 0 und 1 unendlich viele


Kommentar von sim46 ,

Rationale Zahlen sind abzählbar und nicht überabzählbar.

Kommentar von ManuTheMaiar ,

Wie willst du rationale Zahlen abzählen können, häng einfach eine paar Nachkommastellen dran und schon hast du wieder unendlich viele neue Zahlen

Kommentar von SlowPhil ,

Gleichwohl ist es möglich, die rationalen Zahlen auf den natürlichen abzubilden, was hier aufgeführt wird:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_M%C3%A4chtigkeit_von_...

Antwort
von ByteJunkey, 25

Paradoxen: Bspw. einfach 2 Spiegel gegenüberstellen und du wirst sehen, die Spiegel werden sich unendlich oft "selbst zeigen"

Kommentar von SlowPhil ,

Erstens ist das eine Idealisierung, denn selbst ein guter Spiegel reflektiert nicht buchstäblich alles, und zweitens hat der FS nicht einfach nach irgendetwas Unendlichem, sondern ganz speziell nach etwas überabzählbar Unendlichem gefragt.

Antwort
von whyshouldigetup, 20

du meinst wohl überabzählbar. D
überabzählbar sind die reellen zahlen.

Kommentar von SlowPhil ,

Zum Beispiel. Es gibt beliebig große Mächtigkeiten, weil jede Menge X eine Potenzmenge 𝒫(X) hat und die immer mächtiger ist als X selbst.

Antwort
von watermelxn, 25

Zahlen. Du kannst immer weiter zählen.

Kommentar von SlowPhil ,

Wenn man auf die Frage nach Abzählbarkeit oder etwas nicht Abzählbarem antworten will, mache man sich bitte erst kundig, was das Wort eigentlich bedeutet.

Der Terminus »abzählbar« in Bezug auf eine Menge M bedeutet nicht, dass man irgendwann mit dem Zählen der Elemente von M fertig wäre, sondern, dass man jedem Element von M umkehrbar eindeutig (injektiv) eine natürliche Zahl zuordnen, sie also »durchnummerieren« kann.

Man muss also eine injektive Abbildung M → ℕ finden.

Antwort
von Gilgaesch, 14

Die Zahl 1 ist ein Beispiel

Du kannst 1 in unendlichviele Teile Spalten, somit ist 1=Unendlich

Kommentar von SlowPhil ,

Bei allem nötigen Respekt, das ist Unsinn.

  1. In unendlich viele Teile teilen kannst Du nicht die 1 als solche, sondern das Intervall [0,1].
  2. Der FS hat wohl nach Mengeneigenschaften gefragt. Die 1 ist keine Menge.
  3. Weil Du das Intervall in unendlich viele Teile teilen kannst, ist noch lange nicht 1=∞, was im Übrigen auch eher das Potential-Unendliche bezeichnet.
Kommentar von Gilgaesch ,

Okay bei dem Interval [0,1]

Du hast zb einen Kuchen, diesen teilst du in unendlich viele kleinere Stücke. Jedes dieser Stücke ist seinerseits ebenfalls eine Art Kuchen und kann somit weiterhin unendlich viel geteilt werde usw. So kannst du es unendlich lange weiterführen.

Somit ist 1 = einer unendliche Menge von kleineren Größen.

Somit ist es ebenfalls auch eine unabzählbare Menge.

Kommentar von SlowPhil ,

Vorab: Unendlich ist nicht automatisch überabzählbar, es gibt auch das abzählbar Unendliche. Daher ist die Konklusion

Somit ist 1 = einer unendliche Menge von kleineren Größen.
Somit ist es ebenfalls auch eine unabzählbare Menge.

unabhängig davon falsch, dass der erste Satz es ebenfalls schon ist.

Die 1 ist keine Menge, es sei denn, sie wird im Sinne der ZF als {∅}, als Menge, die genau 1 Element, nämlich die Leere Menge enthält (so werden in der ZF die Natürlichen Zahlen konstruiert).

Du meinst zweifellos das Intervall [0,1].

Du hast zb einen Kuchen, diesen teilst du in unendlich viele kleinere Stücke.

Es gibt eigentlich nur zwei Möglichkeiten, den »Kuchen« mathematisch in unendlich viele Teile zu teilen:

  1. Im Rahmen der Standard-Analysis nur mit endlich kleinen Stücken, die nicht alle gleich klein sind, sondern immer kleiner werden, etwa in 2 Hälften, von denen eine wieder in 2 Hälften unterteilt ist usw.
  2. Mit Hilfe der Nichtstandard-Analysis, die unendliche und infinitesimale Größen kennt.

Diese Teile, in die Du den Kuchen teilst, sind dann aber in beiden Fällen nicht Elemente des Kuchens, sondern Teilmengen.

Als Punktmenge respektive Zahlenmenge ist [0,1]⊂ℝ in der Tat eine überabzählbare Menge, aber nicht, weil man sie in unendlich viele Teilmengen unterteilen kann - das würde nicht reichen.

Kommentar von Gilgaesch ,

Infinitisimale Größen sind eine Verallgemeinerung, da sie so nahe an Null liegen, dass sie auch gleich Null betrachtet werden können, allerdings ist eben der Gebrauch dieser Verallgemeinerung der Beweis, dass man es eben nicht mehr abzählen kann. Denn auch wenn sie infinitisimal sind, sind sie nicht gleich Null und alles was nicht gleich Null ist, lässt sich weiterhin unendlich unterteilen.

Außerdem gehören Teilmengen auch weiterhin global betrachtet zu der ersten Menge(des Kuchen) zugehörig. Somit gehören die weiteren Unterteilungen derTeilmengen ebenfalls zu der Unterteilung des Kuchens.

Natürlich nur solange man die Teilmenge auch weiterhin als Teil des Intervals [0,1] betrachtet. 

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community