Frage von DOKTER1964, 58

Substitution x^6-2x^4-84-8x2?

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich würde mich über eine Antwort freuen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

x⁶ - 2x⁴ - 8x² - 84 = 0

Was auf keinen Fall geht (und dann eine große Hilfe ist), das ist das Ausklammern von x. Denn wir haben ein Absolutglied.

Grundsätzlich kann man also substituieren: x² = z

z³ - 2z² - 8z - 84  = 0

Allerdings müsste man jetzt erst einen Linearfaktor herausholen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Das wird sich hier aber nicht lohnen, denn die Lösungen sind krumm oder komplex. Wir werden keine ganzzahlige Lösung finden.

Schade. Um das vorzuführen, wäre ein reelles Beispiel schön gewesen.

Antwort
von Mathestiv, 13

In diesem Fall bietet sich die Substitution x² = z an. Dann erhältst du

(x²)^3 - 2*(x²)^2 - 8*x² = z^3 - 2*z^2 - 8z

Davon brauchst du jetzt die Nullstellen. Dafür setzt du es gleich Null und bekommst eine Gleichung 3. Grades. Das konstante Glied ist 0, deshalb ist es günstig, z auszuklammern:

z*(z² - 2z - 8) = 0

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Also

entweder z = 0 oder z² - 2z - 8 = 0.

Die rechte Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel/PQ-Formel lösen und hast dann insgesamt drei Werte für z. Die Rücksubstitution

x = +-sqrt(z)

liefert die dann die gesuchten Werte für x.

Edit: Sorry, hab grad gesehen, dass da noch die 84 zwischendrin sind. In diesem Fall musst du ne Nullstelle raten und die dann rausfaktorisieren.

Antwort
von MagicalMonday, 58

Was willst du da denn womit substituieren? Ich sehe nur x.

Kommentar von DOKTER1964 ,

Tut mir leid, die Frage sollte heißen: Bestimmung der Nullstellen durch Substitution.

Antwort
von precursor, 31

Ich vermute du meinst folgendes -->

x ^ 6 - 2 * x ^ 4 - 84 - 8 * x ^ 2 = 0

---------------------------------------------------------------------------------------------------

x ^ 6 - 2 * x ^ 4 - 8 * x ^ 2 = 84

z = x ^ 2

z ^ 3 - 2 * z ^ 2 - 8 * z = 84

Fixpunktiteration -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Das bringen wir jetzt auf eine Fixpunktform -->


z ^ 3 - 2 * z ^ 2 - 8 * z = 84

z ^ 3 = 84 + 2 * z ^ 2 + 8 * z

z = ( 84 + 2 * z ^ 2 + 8 * z) ^ (1 / 3)

Man braucht für die Iteration einen Startwert, den Startwert verschafft man sich über eine Wertetabelle oder eine Zeichnung.

Mit dem Startwert z = 6 erhält man nach 30 Iterationen den Wert z = 5.836537470270536

Das ist die einzige reelle Nullstelle von z ^ 3 - 2 * z ^ 2 - 8 * z - 84 = 0

Nun folgt die Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x_1,2 = ∓ √(z)

x _ 1 = - √(5.836537470270536)= -2.415892686000464

x _ 2 = + √(5.836537470270536) = +
2.415892686000464

Das sind die reellen Nullstellen deiner Funktion.

Deine Funktion hat noch 4 weitere Nullstellen, die aber alle in den komplexen Zahlen liegen, ich habe nur die reellen Nullstellen ausgerechnet !

Sobald du das mit der Fixpunktiteration verstanden hast, dann weißt du auch wie man das ausrechnet, erkundige dich nach dem Thema Fixpunktiteration.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community