Frage von apo535, 145

stochastik urnenmodell hilfe?

hallo zusammen,

undzwar bräuchte ich bei der lösung der folgenden aufgabe ein wenig hilfe

aufgabe:

in einer urne befinden sich

11 rote 10grüne 7blaue 12gelbe

kugeln. es wird 5 mal ohne zurücklegen gezogen wie hoch is die wahrscheinlichkeit exakt eine rote und eine grüne kugel zu erwischen

google gibt keine auskunft über die genauere herleitung der forlmel, weil mit den üblichen urnenmodell formeln mit oder ohne zurücklegen funktioniert das nicht

lg

Antwort
von precursor, 51

Hallo !

Mir gefällt deine Aufgabe ziemlich gut ;-))

Das wichtigste erst mal vor weg -->

Die Wahrscheinlichkeit beträgt zirka 16,1 %

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Nun zum weiteren -->

1.)

Der Editor von GF eignet sich überhaupt nicht für komplizierte mathematische Formeln. Das soll keine Anklage sein !!, ist einfach so, sollte und muss man akzeptieren.

2.)

Die exakte Formel in geschlossener Form ist garantiert eine ziemlich lange, unhandliche und komplizierte Formel.

3.)

Ich kenne die exakte Formel nicht, sorry.

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Es geht auch völlig anders -->

1.)

Es gibt in der Mathematik etwas, was sich Monte-Carlo-Simulation nennt, das ist eine anerkannte Methode und kein Schwachsinn !, und wird auch in der sogenannten angewandten Mathematik verwendet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation

2.)

Dazu braucht man einen Computer und man muss eine Programmiersprache ausreichend gut beherrschen.

3.)

Monte-Carlo-Simulationen liefern keine exakten Ergebnisse, sondern die Ergebnisse sind umso exakter je mehr Zufallsexperimente mit dem Computer durchgeführt werden. Wenn man nicht übertrieben hohe Genauigkeiten verlangt, dann können in vielen Fällen selbst mit eher mittelmäßigen Computern ausreichend exakte Ergebnisse gefunden werden.

4.)

Je länger man einen Computer rechnen lässt umso exakter ist das Ergebnis, dabei halbiert sich in der Regel der Fehler um die Hälfte, wenn die Rechenzeit um das vierfache erhöht wird.

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Hier ein Programm in BASIC bzw. Pseudo-Code, es sollte sich mit wenig Mühe an jede andere Programmiersprache anpassen lassen -->

Der Befehl REM dient einfach nur dem Auskommentieren eines Programmes

REM Mit diesem Befehl wird der Bildschirm gelöscht um Platz zu schaffen

REM Dieser Befehl kann in jeder Programmiersprache ein bisschen anders heißen.

CLS

REM Gesamtzahl aller Urnen

n = 40

REM Anzahl der Urnen die ohne Zurücklegen gezogen werden

k = 5

REM Dimensionierung von Arrays

DIM a(1 TO n), b(1 TO k)

REM Anzahl der Zufallsexperimente

Menge = 10000000

REM Hier wird dem Feld a eine Zahl zugewiesen, 1 für rot, 2 für grün, 3 für blau, 4 für gelb

FOR i = 1 TO 11

a(i) = 1

NEXT i

FOR i = 12 TO 21

a(i) = 2

NEXT i

FOR i = 22 TO 28

a(i) = 3

NEXT i

FOR i = 29 TO 40

a(i) = 4

NEXT i

REM Variable Anzahl initialisieren

Anzahl = 0

FOR t = 1 TO Menge

REM Hier wird sicher gestellt, dass kein Feldelement wiederholt wird, also dass es kein zurücklegen gibt.

REM Die Funktion Zufall ist eine Funktion die Zufallszahlen im Bereich von 0 bis 1 erzeugt.

REM In den meisten Programmiersprachen wird sie RND oder RANDOM oder ähnlich benannt sein.

FOR j = 1 TO k

Sprung:

Merke = 0

z = INT(n * Zufall) + 1

b(j) = z

IF j > 1 THEN

FOR s = 1 TO (j - 1)

IF b(j) = b(s) THEN Merke = 1

NEXT s

END IF

IF Merke = 1 THEN GOTO Sprung

NEXT j

REM Hier werden die Zählvariablen GCount und RCount auf Null gesetzt

REM GCount zählt grüne Kugeln und RCount zählt rote Kugeln

GCount = 0

RCount = 0

REM Hier werden die Kugeln gezählt

FOR j = 1 TO k

IF a(b(j)) = 1 THEN GCount = GCount + 1

IF a(b(j)) = 2 THEN RCount = RCount + 1

NEXT j

REM Hier wird die Bedingung --> Genau 1 grüne Kugel und genau 1 rote Kugel gezählt

IF GCount = 1 AND RCount = 1 THEN Anzahl = Anzahl + 1

NEXT t

REM Hier wird die Wahrscheinlichkeit p berechnet

p = Anzahl / Menge

REM Hier wird die Wahrscheinlichkeit noch mal in Prozent umgerechnet.

E = p * 100

REM Hier wird die prozentuale Wahrscheinlichkeit auf dem Bildschirm ausgegeben.

PRINT "p = "; E; " %"

REM Hier wird das Programm ordnungsgemäß beendet.

END

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Noch ein paar Anmerkungen -->

1.)

Das Programm ist in Wahrheit sehr kurz, es wirkt nur deshalb so lang wegen den Auskommentierungen, die man auch weglassen kann, so bald man es kapiert hat, und es ist wegen den vielen Leerzeilen so lang, die der verbesserten Leserlichkeit dienen.

2.)

Keine Angst, ich habe das Programm anhand eines einfacheren, anderen Beispiels überprüft, und es hat korrekte Ergebnisse geliefert, musste dafür allerdings natürlich geringfügig geändert werden -->

http://www.poenitz-net.de/Mathematik/3.Stochastik/3.2.F.Ziehen%20ohne%20Zurueckl...

Daher weiß ich, dass mein Programm saubere Ergebnisse liefert.

3.)

Mit 10000000 (zehnmillionen) Zufallsexperimenten (Variable Menge) betrug die Rechenzeit bei deiner Aufgabe bei mir zirka 20 Sekunden.

Mit 100000000 (einhundertmillionen) Zufallsexperimenten also etwas mehr als 3 Minuten.

Das Ergebnis zu deiner Aufgabe 16,1 % hatte sich auch mit der Erhöhung der Zufallsexperimente um den Faktor 10 nicht mehr verändert, man kann also davon ausgehen, dass das Ergebnis 16,1 % auf höchstens die eine Nachkommastelle unsicher ist, wenn überhaupt.

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Noch ein paar Anmerkungen zu den Nachteilen von Monte-Carlo-Simulationen -->

1.)

Die Güte der Ergebnisse hängt auch davon ab, ob man einen guten Pseudozufallszahlen-Generator benutzt oder nicht, deshalb sollte man ihn immer an bekannten Aufgaben testen von denen die mathematisch exakten Ergebnisse genau bekannt sind.

2.)

Bei komplizierten oder umfangreichen Simulationen können die Rechenzeiten hoch sein, hängt vom verwendeten Computer ab.

3.)

Je höher die Genauigkeit der Ergebnisse sein soll, desto mehr Zufallsexperimente sind nötig, und umso mehr Rechenzeit wird benötigt.

4.)

Schon der kleinste Denkfehler oder Programmierfehler wird falsche Ergebnisse liefern, das ist aber kein Nachteil dieser Methode, sondern generell sorgen kleinste Denkfehler und / oder Rechenfehler in der Mathematik für falsche Endergebnisse.

Ein Nachteil speziell dieser Methode ist allerdings, dass es (ziemlich) schwer ist die Endergebnisse auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.

Deshalb löst man zunächst einfachere Probleme, die exakt oder annähernd exakt artverwandt sind, deren Rechenergebnisse mathematisch exakt bekannt sind, und überprüft die Ergebnisse des Computerprogramms mit den bekannten Ergebnissen.

Das habe auch ich mit diesem Programm getan, siehe Internet-Link von oben.

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Wie immer gilt, dass ich für die Korrektheit meiner Antwort keine Gewähr übernehme.

Kommentar von precursor ,

Anmerkung -->

Im Abschnitt

CLS

REM Gesamtzahl aller Urnen

n = 40

REM Anzahl der Urnen die ohne Zurücklegen gezogen werden

k = 5

sollte im Kommentar natürlich statt dem Wort Urnen das Wort Kugeln stehen ;-))

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 40

Hallo,

wenn genau eine rote, eine grüne und drei Kugeln einer anderen Farbe gezogen werden sollen, rechnest Du
[(11 über 1)*(10 über 1)*(19 über 3)]/(40 über 5)

Das (m über n) soll jeweils der Binomialkoeffizient sein (Taschenrechner:
nCr-Taste).

Du hast einen Gesamttopf von 40 Kugeln, aus dem 5 ausgewählt werden, der sich aus dem Topf der 11 roten und der 10 grünen zusammensetzt, aus denen jeweils eine Kugel dabei sein soll und 19 Kugeln anderer Farben, von denen drei dabei sein sollen.

So kommst Du auf das Ergebnis 0,161988912 oder rund 16.2 %.

Näheres findest Du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Multivariate\_hypergeometrische\_Verteilung

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von precursor ,

Hervorragende Antwort !

Die Formel ist ja doch wesentlich einfacher als ich je gedacht hätte ;-))

Dank dir kenne ich diese Formel jetzt endlich auch ;-))

Kommentar von Willy1729 ,

Ich kannte sie bis dahin auch nur für den Fall, daß zwei Farben im Spiel sind und habe einfach gegoogelt, ob es auch mit mehreren Farben funktioniert. Und siehe da: es geht. Aber mit Deiner Methode bist Du ja auf ein annähernd gleiches Ergebnis gekommen.

Kommentar von precursor ,

Ja, stimmt.

Nur die letzte Nachkommastelle war bei meiner Methode etwas unsicher, da müsste man dann die Anzahl der Zufallsexperimente erhöhen oder einen Pseudozufallszahlen-Generator nehmen der eine noch höhere Qualität hat.

Kommentar von Willy1729 ,

Letztlich wird ohnehin jeder Durchlauf anders ausfallen. Der Realität kann man sich mit solchen Berechnungen schließlich nur annähern.

Kommentar von precursor ,

Stimmt !

Kommentar von apo535 ,

sehr gute antwort,

zunächst einmal habe ich es auch mit der hypergeometrischen verteilung ausprobiert und alles ähnlich bis auf den letzten koeffienten im zähler, daher auch das andere ergebniss. vielen dank nochmal

Kommentar von KDWalther ,

Sehr schöne Antwort und gut erklärt!

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 47

Du hast das mit der Hypergeometrischen Verteilung berechnet? Die geht aber nur bei zwei unterschiedlichen Ergebnissen pro Versuch (wie bei der Binomialverteilung), nur ohne Zurücklegen (das ist hier der Fall).

Sich am Baumdiagramm zu orientieren finde ich auf jeden Fall sinnvoll. Dabei brauchst Du aber nur zwischen "rot", "grün" und "anders" zu unterscheiden (also drei Ergebnisse statt vier; das vereinfacht den Baum erheblich.)

Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen "Gewinnpfade" sind jeweils gleich (1 x rot, 1 x grün, 3 x anders). Dann brauchst Du "nur" noch herausbekommen, wie viele dieser Gewinnpfade es gibt. Das geht über Binomialkoeffizienten.

Kommentar von apo535 ,

danke für den einfachen weg. aber eins hab ich nicht ganz verstande wie ich über den binomialkoeffizienten meine anzahl der pfade herausbekommen soll. ich möchte dass, das ereigniss 1 mal rot und 1mal grün exakt einmal vor kommen . und wenn ich jetzt aus der gesamtmenge bei 5 veruschen  dieses ergebniss über den binomialkoeffizienten berechnen würde um die häufigkeit zu bestimmen wäre das ja 40 ncr 1(weil ja nur einmal) und das wiederum ist 40. oder hab ich da was nciht verstanden

lg und danke.

Kommentar von KDWalther ,

Bei meinem Ansatz geht es jetzt "nur noch" darum herauszufinden, auf wie viele Möglichkeiten Du die eine rote und die eine grüne Kugel auf die 5 Stellen verteilen kannst, das macht (5 über 1) · (4 über 1).

(Okay, in diesem Fall ist das mit den Binomialkoeffizienten (BK) als Denkansatz vielleicht übertrieben :-) .)

Bei willy1729 kommen andere BK vor, weil hier der Ansatz über die Laplace-Wahrscheinlichkeit gewählt wurde: Anzahl der günstigen : Anzahl der möglichen Ergebnisse. Günstig sind hier alle diejenigen Fälle, bei denen aus den 11 roten Kugeln 1 gezogen wurde, aus den 10 grünen genau 1 und ...

Der Ansatz von willy gefällt mir übrigens beser als meiner, da er leichter nachzuvollziehen ist (und dieser Ansatz in der Schule in etlichen Aufgaben gefordert ist).

Kommentar von Wechselfreund ,

Die geht aber nur bei zwei unterschiedlichen Ergebnissen pro Versuch 

Wie ist das gemeint?

Kommentar von KDWalther ,

Gemeint ist, dass bei einer Menge von Objekten nur unterschieden wird, ob ein Objekt ein bestimmtes Merkmal trägt (z.B. "rot") oder nicht (also jede andere beliebige Farbe) ("Treffer" oder "Niete").

Antwort
von Zwieferl, 8

Die fünf gezogenen Kugeln setzen sich so zusammen: RGAAA (R...rot, G...grün, A...andere Farbe).

Zuerst denke an Lagrange: Wahrscheinlichkeit ist günstig/möglich.

Also gilt: P(R)=11/40, P(G)=10/39, P(A)=19/38·18/37·17/36

Somit gilt für die Reihenfolge RGAAA (ich fasse Zähler und Nenner zusammen): (11·10·19·18·17)/(40·39·38·37·36)

Es heißt aber auch, es soll genau eine rote bzw. grüne vorkommen, d.h. du brauchst du Anzahl aller Permutationen aus RGAAA → 5!/3!

Daraus ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (die Klammern setze ich nur der Optik wegen): (5!/3!)·(11·10·19·18·17)/(40·39·38·37·36) ... das Ausrechnen überlasse ich dir.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 51

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/hypergeometrische-verteilung.html

kannst du nicht zweimal dieses anwenden; und

k=1 und M=11

k=1 und M=10

und dann die Ergebnisse addieren oder multiplizieren?

Kommentar von apo535 ,

danke für die hilfe. hört sich interessant an



lg

Kommentar von apo535 ,

wobei ich glaube ,dass das so einfach nicht ist aber werde es versuchen

Kommentar von apo535 ,

habs raus. vielen dank. ging mit der hypergeometrischen verteilung

Kommentar von precursor ,

Und welches exakte Endergebnis hast du nun ganz genau rechnerisch rausbekommen ? Wie lautet der exakte Zahlenwert der Lösung ?

Kommentar von apo535 ,

sagen wir es mal so . ich bin nicht auf den selben zahlenwert wie der kommentator oben gekommen :D aber ansich hab ich das prinzip verstande . muss nur noch paar vergleichs rechnungen machen

Kommentar von precursor ,

Ok

Antwort
von MCLJT, 88

Mach das mithilfe von einem baumdiagramm

Kommentar von apo535 ,

ich werdes es versuchen . ich weis nur so gropb das da mal eine formel war mit klein n groß N klein m und groß M aber die bezog sich nur auf eine kugelfarbe . das mit 2 ist glaube ich zu verzwickt

Kommentar von apo535 ,

unmöglich mit beinem baumdiagramm zu lösen . ich habe 1364 fade berechnet . :/(

Kommentar von MCLJT ,

Dann mach die Hausaufgaben nicht

Kommentar von apo535 ,

XD . sind keine hasuaufgaben

Kommentar von MCLJT ,

sondern?

Kommentar von apo535 ,

ich habe ein kartensspiel wobei ich versuche die besten wahrscheinlichkeiten zu berechen um die benötigte karte zu ziehen. dem entsprechend muss ich karten austauschen oder nciht.

:D

Antwort
von lks72, 4

p(r , g, anders, anders , anders) = 11/40 • 10/39 • 19/38 • 18/37 • 17/36
Nun noch alle Reihenfolgen vertauschen, das sind (5 • 4 • 3 • 2 • 1) / (3 • 2 • 1) = 20.
Diese 20 Kombinationen multipliziert mit der obigen Wahrscheinlichkeit gibt die schon besagten 16,2%

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