Frage von nightrain1204, 55

Stochastik berechnen?

Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe: Von 120 Schrauben sind 7 kaputt. Am nächsten Tag werden 7 von den 120 Schrauben gefärbt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kaputte Schraube gefärbt ist?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 10

Hallo,

wenn nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt ist, daß genau eine defekte Schraube gefärbt ist, rechnest Du (7/120)*(113/119)*(112/118)*(111/117)*(110/116)*(109/115)*(108/114)*7 .

Zur Erklärung: Jede Schraube ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/120 defekt. Das bedeutet im Umkehrschluß, daß jede Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von 113/120 nicht defekt ist. Wenn genau eine von sieben Schrauben, die gefärbt werden, defekt sein soll, dann dürfen die anderen sechs gefärbten nicht defekt sein. Wenn Du also eine von den gefärbten Schrauben nimmst, ist sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 7/120 defekt.

Nimm an, die erste gefärbte Schraube wäre die defekte, dann sind noch 113 von 119 Schrauben intakt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die nächste Schraube intakt ist, liegt also bei 113/119. Die dritte Schraube ist, sofern sie intakt ist, eine von 112/118. So geht es weiter bis zur sechsten Schraube.

Das Ergebnis mußt Du mit 7 multiplizieren, weil die defekte Schraube nicht unbedingt die erste sein muß, sondern auch die zweite, dritte usw. sein kann.

So kommst Du alles in allem auf eine Wahrscheinlichkeit von 29,73 % dafür, daß genau eine der sieben gefärbten Schrauben defekt ist.

Auf dasselbe Ergebnis kommst Du auch, wenn Du nur mit Binomialkoeffizieten rechnest:

[(7 über 1)*(113 über 6)]/(120 über 7)=29,73 %.

Erklärung: Du stellst Dir vor, es gibt zwei Töpfe, aus denen Du auswählst:

In dem einen sind die 7 defekten Schrauben. Aus diesem nimmst Du eine zum Färben. Im anderen Topf sind die 113 intakten Schrauben; diesem entnimmst Du 6. Beim ersten Topf gibt es (7 über 1)=7 Möglichkeiten, eine zu entnehmen; beim anderen sind es (113 über 6)=2.526.561.576 Möglichkeiten, wie man 6 Schrauben auswählen kann.

Das Ganze mußt Du durch die Zahl der Möglichkeiten teilen, wie man sieben Schrauben aus 120 auswählen kann, also durch 59.487.568.920, so kommst Du auf das Ergebnis.

Den Binomialkoeffizienten (n über m) berechnest Du nach folgender Formel:

n!/[m!*(n-m)!]

113 über 6 ist danach 113!/(6!*107!).

Der Taschenrechner hat dafür die nCr Taste. 113 über 6 ist 113nCr6.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von ProfFrink, 16

7/120 * 7/120 = 0,003402

Die Wahrscheinlichkeit ist 0,34%


Kommentar von Willy1729 ,

Was Du ausgerechnet hast, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Du zweimal hintereinander eine defekte Schraube aus der Schublade ziehst, nachdem Du die erste wieder zurückgelegt hast.

Bei der Aufgabe aber ziehst Du sieben Schrauben aus der Schublade, in der sieben defekte und 113 intakte Schrauben liegen, von denen eine - egal welche - defekt sein soll, die anderen sechs intakt. Das ist etwas anderes.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von ProfFrink ,

Das ist das Schöne an der Mathematik. Man ist entweder bestätigt oder widerlegt. Ohne wenn und aber. Keine langen Diskussionen. Wie gut dass ich kein Politiker geworden bin.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten