Frage von xDeron, 89

Stimmt folgende Aussage: "Immer wenn bei einem Bruch eine Primzahl im Nenner steht, ist der zugehöhrige Dezimalbruch periodisch." (siehe Beschreibung!)?

Falls die Aussage falsch ist: Wie lautet die Warheit?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 34

Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: 1/2 = 0.5, direkt die erste Primzahl ist ein Gegenbeispiel.

Man bemerke, dass 10 = 2 * 5, deshalb ist der Bruch genau dann periodisch, wenn der Nenner (nach Kürzung) Primfaktoren enthält, die nicht 2 oder 5 sind. Äquivalent: Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist genau dann abbrechend, wenn der Nenner nach Kürzung nur durch 2 oder 5 teilbar ist.

Das zu beweisen geht einfach:

Hin-Richtung:

Sei ein Bruch 0 < a/b < 1 gegeben [ansonsten skalieren wir runter, und es macht den Beweis einfacher], wobei b = 2^k 5^l. Sei weiterhin o.B.d.A k > l [da wir sonst das ganze Verfahren machen, nur dass wir 2 und 5 vertauschen].

Wir erweitern jetzt den Bruch mit 5^(k-l) und haben also a/b = 5^(k-l)a/10^k.

Diese Zahl ist offensichtlich nicht periodisch, da die Zahl die Form 0."5^(k-l)a" ist, wobei "5^(k-l)a" die Zahl in Dezimaldarstellung ist und damit abbrechend.

Rück-Richtung: Sei eine rationale Zahl 0 < a/b < 1 gegeben, wobei a/b in Dezimaldarstellung abbricht, also a/b = "0.a1a2a3...ak00000".

Wir bekommen jetzt also a/b = "a1a2...ak"/10^k, wobei "a1a2...ak" die natürliche Zahl zusammengesetzt aus den Ziffern von a/b ist.

Wenn wir den Bruch vollständig kürzen [beide Seiten durch den ggt("a1a2...ak",10^k) teilen], dann ist der Nenner ein Teiler von 10^k = 2^k 5^k, durch den Fundamentalsatz der Arithmetik also ein Teiler von 2 oder 5 und keinen anderen Primzahlen.

Was noch als letztes zu zeigen ist, ist die [nicht ganz untriviale] Annahme, dass ein Dezimalbruch genau dann rational ist, wenn er periodisch ist oder abbrechend. Das überlasse ich dir als Übung. Tip: Eine Periode lässt sich darstellen als Bruch a/b, mit b = (10^k) -1 wobei k die Länge der Periode ist, und a die natürliche Zahl ist, die mit der Periode übereinstimmt.

LG

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 42

Periodisch im weiteren Sinne (einschließlich Periode 0) oder im engeren Sinne (Periode 0 ausgeschlossen)?

Was ist die Primzahlzerlegung von 10? Was passiert, wenn eine dieser Primzahlen im Nenner steht?

Kommentar von xDeron ,

Ehm.... Ich möchte nur wissen, ob diese Aussage richtig ist....

Kommentar von PWolff ,

Und ich möchte dir die Aufgabe nicht auf einem Silbertablett servieren.

Abgesehen davon, dass die Antwort auf die Frage entscheidend von der Antwort auf meine Rückfrage (periodisch im engeren oder im weiteren Sinn) abhängt.

Antwort
von zalto, 32

Zwei ist eine Primzahl, fünf ist eine Primzahl.

1/2 = 0,5

1/5 = 0,2

Ich sehe da keinen periodischen Dezimalbruch. Oder wenn im Zähler dieselbe Primzahl wie im Nenner steht, dann gibt der Bruch immer 1 - die Aussage stimmt so nicht.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 24

Findet man alles ganz genau beschrieben unter

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/periodenlaenge.htm

incl. online Berechner!

Es bringt nichts, wenn man nur Teile davon hier herkopieren würde.

Antwort
von kepfIe, 26

Probiers doch selber aus. Du musst nur ein Gegenbeispiel finden und das is widerlegt. Und so eins kommt relativ schnell.

Antwort
von lks72, 17

Die Lösung wurde schon mehrfach genannt, die Aussage ist falsch, komplett müsste sie so lauten.

Wenn bei einem gekürzten Bruch a / b im Nenner b in der Primfaktorzerlegung nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, ist er periodisch, kommt keine 2 und keine 5 vor, ist er reinperiodisch, und wenn (2en ODER  5en) UND andere Primfaktoren vorkommen, ist er gemischtperiodisch.

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