Frage von klasf, 42

Stimmt es, dass die folgende Aufgabe keine Lösung hat Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= x^2 +1 und die Gerade i(x) = mx+ 2. Bestimme m so, dass..?

Hi

Stimmt es, dass die folgende Aufgabe keine Lösung hat? Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x)= x^2 +1 und die Gerade i(x) = mx+ 2. Bestimme m so, dass sich f(x) und i(x) genau an einem Punkt schneiden.

thx

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 16

Hallo,

f(x)=x²+1 ist eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und bei 1 die y-Achse schneidet.

y=mx+2 ist eine Gerade, die für jedes m die y-Achse bei 2 schneidet. Da sich eine Gerade nach beiden Richtungen unendlich weit erstreckt, bleibt ihr gar nichts anderes übrig, als irgendwo diese Parabel zu schneiden. Zeichne die Parabel auf oder laß sie Dir durch einen Plotter anzeigen und versuche dann, von Punkt (0|2) aus in beide Richtungen eine gerade Linie zu s ziehen, ohne die Parabel zu schneiden. Das funktioniert nicht.

x²+1=mx+2 wird immer eine oder zwei Lösungen haben.

Das kannst Du auch rechnerisch nachweisen:

Du stellst die Gleichung so um, daß Du die pq-Formel anwenden kannst:

x²-mx-1=0 Dann steht unter der Wurzel m²/4+1. Dieser Ausdruck wird niemals negativ werden, weil m² immer positiv ist. Deshalb gibt es immer eine Lösung.

Dies bedeutet, daß die Aufgabe, ein m zu finden, für das sich kein Schnittpunkt zwischen Gerade und Parabel ergibt, nicht lösbar ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Korrektur: Es gibt immer zwei Lösungen für die pq-Formel. Eine Lösung wäre nur möglich, wenn der Ausdruck unter der Wurzel Null würde, was aber nicht passieren kann, da m²/4 nicht -1 werden kann.

Willy

Antwort
von VinurVerndari, 18

Nein, diese Aufgabe hat keine Lösung. Das m ist der Anstieg der linearen Funktion i(x), ich habe das hier im Bild mit rot gemacht (3 verschiedene Anstiege) Somit gibt es keinen Anstieg, wo sich die beiden Funktionen in nur einem Punkt schneiden.

Antwort
von Kaenguruh, 17

Du setzt x^2 + 1 = mx +2. Also x^2 +1 - mx -2 =0. Also x^2 +mx -1 =0. Bei nur einer Lösung (1 Schnittpunkt) muß die Diskriminante D = 0 sein. Es gilt D = b^2 - 4 ac bei einer Gleichung der Form ax^2 +  bx+ c = 0. Hier also D =  m^2 - 4(-1) = 0. Also m^2 +4 = 0 und m =+-√-4. Und Wurzeln aus negativen Zahlen haben keine reellen Lösungen. In der Menge der komplexen Zahlen gäbe es zwei Lösungen

Kommentar von Kaenguruh ,

Hier habe ich mich bei dem m vertan. Meine zweite Lösung ist richtig.

Antwort
von Kaenguruh, 11

Du setzt x^2 + 1 = mx + 2, also x^2 -mx - 1 =0.  Bei nur einer Lösung (1 Schnittpunkt) muß die Diskriminante D = 0 sein. Bei einer Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 ist D = b^2 - 4 ac. Hier also (-m^2) +4 = 0 und m =+- √(-4) und die Wurzel aus einer negativen Zahl hat keine reelle Lösung.

Kommentar von Kaenguruh ,

Sorry,es muß (-m)^2 

Antwort
von Roderic, 2

Ja, stimmt.

Es gibt immer genau zwei Schnittpunkte, egal welches m man wählt.

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