Frage von Fabi21021, 63

Stetigkeit von Funktionen. Wie berechnen?

Hallo, ich habe mich jetzt schon länger im Netz umgesehen aber finde keine passende lösung. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf ihre Stetigkeit: x^4-4x^2

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 63

Eine Funktion ist an einer Stelle x0 stetig, wenn f(x0) existiert und dieser Wert mit dem Grenzwert an dieser Stelle x0 übereinstimmt;
also f(x0)=lim f(x) für x->x0

Bei ganzrationalen Funktionen ohne Einschränkungen im Definitionsbereich gilt diese Voraussetzungen an jeder Stelle, d. h. jede ganzrationale Funktion ist stetig.
Interessant wirds erst, wenn eine Funktion Definitionslücken besitzt, oder aus mehreren "Einzelfunktionen" besteht.

Kommentar von Fabi21021 ,

Danke!!

Kommentar von Rhenane ,

x0 ist eigentlich der kritische Punkt einer Funktion, z. B. da wo ein Nenner bei x0 Null ergibt. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es diese Stellen nicht, hier gilt allgemein für jeden gewählten x0-Wert f(x0)=lim...

Antwort
von schuhmode, 51

Ich weiß leider nicht, wieviel ihr schon bewiesen habt bzw was man bei der Aufgabe voraussetzen/verwenden darf. Wenn ihr schon hattet, dass Addition und Multiplikation stetig sind, und dass die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist, dann erledigt sich diese Aufgabe eigentlich durch hingucken.

Falls nicht, musst du direkt über den lim-Ausdruck gehen (-> Antwort von Rhenane).


PS:

Abschaulich ist eine stetige Funktion eine, die keine Sprünge macht (bzw hat).

U.Nagel verwechselt (wieder mal) Unstetigkeitsstellen mit Definitionslücken.

Antwort
von Rubezahl2000, 39

Stetigkeit kann man nicht "berechnen".

Wenn's um Stetigkeit geht, muss man "beweisen", ob eine Funktion steig ist oder nicht.

Antwort
von UlrichNagel, 51

Stetigkeit bedeutet eine Funktion ohne Fehlstellen. In der Regel gibt es Fehlstellen aber nur bei gebrochenen Funktionen und diese ist keine.

Kommentar von Fabi21021 ,

Also ist eine rechnerische Lösung hier garnicht möglich? Bzw. begründe ich so, dass sie stetig ist?

Kommentar von UlrichNagel ,

Doch man kann sie rechnerisch begründen, habs aber momentan nicht im Kopf.

Kommentar von UlrichNagel ,

Bei der Kurvendiskussion müsste es enthalten sein.

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