Frage von ImCruz, 79

Stetigkeit einer Funktion (Intervall)?

Hallo,

und zwar habe ich gerade ein Verständnisproblem.

Gegben:

f: (0,1]--> mit f(x)=1/x

Die Funktion soll auf Stetigkeit überprüft werden und auf Maximalstellen und Minimalstellen.

Wie überprüfe ich die Stetigkeit auf einem Intervall und wie kann ich daraus die Extremwerte ablesen?

Antwort
von PhotonX, 26

1/x ist auf R\{0} stetig. Dein Intervall ist beinhaltet die Null nicht (ist links offen), also ist die Funktion auf dem ganzen Intervall stetig. Die Extremwerte folgen dann über das Monotonieverhalten (die Funktion ist überall monoton Fallend, also müssen die Extreme an den Intervallgrenzen liegen).

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 32

Mithilfe der Stetigkeits-Definition:
Eine Funktion f(x) heißt auf einem Intervall I stetig, wenn es zu jedem ε>0 ein δ >0 gibt, sodass für alle
x₁, x₂ ∈ I
mit

x₂ − x₁ < δ

auch

f(x₂) − f(x₁) < ε

folgt.

Es geht dabei darum, anhand der Funktionsgleichung das nötige δ duch ε auszudrücken. Es darf ruhig "zu groß" sein, es genügt, dass es existiert.

Kommentar von SlowPhil ,

Sorry, das hier war die Definition für gleichmäßige Stetigkeit, und Deine Funktion ist ganz offenkundig nicht gleichmäßig stetig. Mit dieser App hier hat man leider nicht die Muße wirklich gründlich nachzudenken, wenn man gerade dabei ist, eine Antwort zu verfassen. man muss sich das, was man antworten will, bereits zurechtgelegt haben, denn die ganzen Tricksereien, die man anwenden muss, um das zu tun, beanspruchen einen guten Teil des eigenen Denkvermögens.

Die Funktion f(x) heißt stetig in x₀ wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für jedes x mit

x – x₀< δ

auch

f(x) – f(x₀) < ε

folgt. Auf einem Intervall I stetig heißt f(x), wenn sie in jedem

x₀ ∈ I

stetig ist. Es gilt also, δ durch ε und x₀ auszudrücken.

Kommentar von SlowPhil ,

Sowohl in der Antwort als auch im Kommentar habe ich die Betragsstriche vergessen. Es muss heißen:

---

Die Funktion f(x) heißt stetig in x₀ wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für jedes x mit

|x – x₀| < δ

auch

|f(x) – f(x₀)| < ε

folgt.

---

Im konkreten Beispiel ist

|1/x − 1/x₀| = |x₀ − x|/|x₀·x| < ε
|x₀ − x| < ε|x₀·x|

Nun muss x noch raus, damit dies für jedes x gilt, es muss also ein δ gefunden werden, für das für alle x

δ < ε|x₀·x|

ist. Ggf. muss man dies für den Fall |x|>|x₀| und den Fall |x|<|x₀| getrennt machen.

Kommentar von SlowPhil ,

Natürlich muss es heißen: Es darf δ "zu KLEIN" gewählt werden, sodass z.B.

f(x) – f(x₀) < ε/2

ist, also kleiner als nötig. Dann existiert es jedenfalls schon mal.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community