Frage von Geforce97, 28

Sterometrie, pythagoras im Raum berechnen?

Hallo erstmal Hier die aufgabe Auf einem Würfel ist eine Pyramide mit gleich langen kanten aufgesetzt. Berechne die Länge der roten Strecke. Für a gilt = 8cm Die rote strecke geht von der vorderen linken würfelkante von unten bis nach oben in die spitze der Pyramide. Bitte anleitung zum ergebniss, damit ich ein bild davon habe. Dankeb

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 13

Hallo,

zeichne den Würfel so in ein Koordinatensystem, daß A, die vordere linke Kante, im Ursprung liegt, also die Koordinaten (0|0|0) hat.

Die Strecke AB liegt dann auf der x-Achse, AD auf der y-Achse und AE auf der z-Achse.

Die Koordinaten der acht Eckpunkte des Würfels lauten demnach:

A: (0|0|0)

B: (8|0|0)

C: (8|8|0)

D: (0|8|0)

Das ist das Erdgeschoß.

Im ersten Stock geht es so weiter:

E: (0|0|8)

F: (8|0|8)

G: (8|8|8)

H: (0|8|8)

Der Punkt senkrecht unter der Spitze der Pyramide, Punkt M, im ersten Stock, hat die Koordinaten (4|4|8), wie leicht zu ersehen ist.

Das einzige, was berechnet werden muß, ist die Höhe der Pyramidenspitze über Punkt M, um die z-Koordinate zu ermitteln.

Dazu benutzt Du den Satz des Pythagoras.

Die Strecke ES ist wie alle anderen Kanten 8 cm lang, die Strecke EM hat 4*√2, denn in einem Quadrat verhalten sich die Grundseite und die Diagonale wie 1:√2, da der Mittelpunkt auf der halben Diagonale liegt, sind es von E bis M 4*√2 cm.

Die Strecke MS hat somit eine Länge von

√[8²-(4*√2)²]=√(64-32)=5,657 cm.

Dazu die 8 cm vom Erdgeschoß bis zum ersten Stock gerechnet ergibt
13,657 cm.

Somit hat S die Koordinaten (4|4|13,657)

Die Strecke AS hat somit die Länge √(4²+4²+13,657²)=14,8 cm.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Geforce97 ,

danke :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 14

Du kannst die Länge der Raumdiagonale D (so nenne ich jetzt die von dir beschriebene rote Strecke) herausbekommen, wenn du in die Figur ein rechtwinkliges Dreieck legst, und zwar über die Diagonale d der Grundfläche und die Höhe h des Gesamtkörpers.

D² = (d/2)² + h²

d ist leicht aus dem Quadrat zu berechnen: d = a * √2

h muss zusammengesetzt werden aus a und der Höhe der aufgesetzten Pyramide h₁. Diese ist aber auch mit Pythagoras herauszubekommen. Denn da offenbar die Pyramidenkante auch die Länge a haben soll, ist

a² = h₁² + (d/2)²    denn die Flächendiagonale ist dieselbe wie unten.

Danach von unten nach oben einsetzen.

Antwort
von abibabo, 5

Du musst zweimal den Phythagoras anwenden. Eine Skizze ist immer sehr hilfreich.

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