Frage von WillibergiUsermod Junior, 139

Stehe ich richtig in der Annahme, dass es für jede Gleichung mit mindestens einer Variablen eine (wenn auch komplizierte) analytische Umformung gibt/geben muss?

Damit ist eine analytische Umformung nach einer Variablen gemeint.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 38

Wenn die Gleichung eine nicht-analytische Funktion enthält, hast du in der Regel keine Chance.

Kommentar von Willibergi ,

Soll das heißen, eine Gleichung wie xcos(x) = 1/2 kann nicht nach x umgeformt werden?

Wenn dem so wäre, wäre ich aber baff.

LG Willibergi

Kommentar von PWolff ,

Ok, ich hab die Frage nicht ganz unwissentlich etwas wörtlicher genommen, als sie vermutlich gemeint war.

Aber x |-> x cos(x) ist eine analytische Funktion.

(Oder meinst du eine Funktion namens "xcos", die ich aber nicht kenne?)

Dass nicht alle Funktionen eine geschlossene Darstellung haben, sollte bekannt sein. (natürlich abhängig davon, welche Funktionen man als elementar genug betrachtet, um in eine "geschlossene" Darstellung einzugehen.)

Antwort
von Zwieferl, 23

Wenn du meinst, dass durch Äquivalenzumformungen eine Variable isoliert werden kann: Nein, das ist nicht so!

Beispiel: x·2^x=1 → es ist nicht möglich, die Gleichung in "x=eine Zahl" umzuwandeln (aber es gibt Methoden, um die Lösung - näherungsweise - zu bestimmen, hier: x=0,641186...mit WolframAlpha berechnet)

Wenn du auch "Umwege" zur Berechnung nimmst wie diverse Näherungsverfahren oder Reihenentwicklung, dann könnte ich mir ein "Ja" vorstellen - allerdings habe ich nicht Mathe studiert, sodass ich das mit Sicherheit behaupten kann)

Bei mehr als einer Variablen bin ich eher skeptisch - aber siehe voriger Absatz.

Antwort
von lks72, 17

Eine Gleichung fünften Grades ist in der Regel nicht analytisch lösbar, solche Dinge sind Thema der Galois-Theorie, siehe in diesem speziellen Fall den Satz von Abel-Ruffini.

Antwort
von atoemlein, 46

Umformung mit welchem Ziel?

Umformung ja, aber nicht zwingend eine analytische Lösung.

Soviel ich weiss, kann man die drei ganzzahligen Lösungspaare für

x^y = y^x

nicht analytisch finden.

Antwort
von precursor, 10

Nein

Wenn man öfter mal was mit Fixpunktiterationen zu tun hat, dann stößt man ziemlich schnell auf solche Fälle.

Beispiele -->

x = sin(x)

ln(x) = e ^ (x)

Es ist nicht möglich nach x aufzulösen, was nicht bedeutet dass es keine Lösungen gibt.

Dasselbe lässt sich auch auf mehrere Variablen verallgemeinern -->

x * y = sin(x * y)

x ^ y = arctan(x * y)

ln(x * y) = e ^ (x * y)

Es ist nicht möglich analytisch nach einer Variablen aufzulösen, sorry.

Antwort
von FuHuFu, 43

Nein, es ist nicht immer möglich eine explizite Auflösung nach einer Variablen als analytischen Ausdruck hinzuschreiben.

Antwort
von Australia23, 43

Meines Wissens nach: Nein.

Wenn durch eine Gleichung eine implizite Funktion gegeben ist, kannst du diese nicht durch eine (!) andere Gleichung nach einer der beiden Variablen wiedergeben.

Z.B. x^2+y^2=1 -> x= (1-y^2)^(1/2) aber auch x= - (1-y^2)^(1/2)

Oder meinst du was anderes? ^^

In solchen Fällen könntest du die Gleichung (soweit ich weiss) höchstens abschnittsweise als Funktion nach einer Variable wiedergeben.

Kommentar von Willibergi ,

Für x² + y² = 1 ist es ja nicht wirklich schwer, nach einer der Variablen umzuformen.

x = ±√(1 - y²)

y = ±√(1 - x²)

Kein großes Ding.

Die Frage ist nun, ob eine Umformung nach einer Variablen bei jeder erdenklichen Gleichung möglich ist.

Als Beispiel habe ich xcos(x) = 1/2 vorliegen.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Gleichung nur numerisch gelöst werden kann.

LG Willibergi

Kommentar von Australia23 ,

Achso, ich ging davon aus, dass du eine "einheitliche" Lösung der Gleichung nach einer Variable möchtest, nicht eine bloss abschnittsweise definierte...

Genauer gesagt, wäre es ja:

x = √(1 - y²), für x im Intervall I=[0,1]
x= - √(1 - y²), für x im Intervall I=[-1,0]

Als Beispiel habe ich xcos(x) = 1/2 vorliegen.

Zudem habe ich mich verlesen, ich dachte es geht um Gleichungen mit mindestens zwei Variablen, also meintest du was anderes...

Aber nein, in diesem Fall geht das nur numerisch, falls meine Überlegungen korrekt/hinreichend sind:

x*cos(x)=1/2 -> f(x) = x*cos(x)-1/2

Nun kann man nach Nullstellen der Funktion f(x) "suchen", wobei man aber keine Funktion nach x findet, nur numerische Werte.

Hierbei habe ich jedoch einen Rechner zu Hilfe genommen (benutze Matlab), wie man es selbst "definitiv" herausfinden könnte, weiss ich auch nicht.

Das Gegenteil wäre aber bewiesen (sofern man Matlab vertrauen kann) ^^

Kommentar von Willibergi ,

"ich dachte es geht um Gleichungen mit mindestens zwei Variablen, also meintest du was anderes..."

Es ist unerheblich, wie viele Variablen in der Gleichung enthalten sind - es geht ja nur um die Umformung. ;)

"Genauer gesagt, wäre es ja:
x = √(1 - y²), für x im Intervall I=[0,1]
x= - √(1 - y²), für x im Intervall I=[-1,0]"

Was willst du denn damit sagen? ^^

Die Gleichung ist definiert für x, y ∈ (-∞; 1], wenn du das meinst.

x ist jedoch immer ±√(1 - y²), sofern es im Definitionsbereich liegt.

Aber darum geht es ja gar nicht.

Ich hege nur sehr große Zweifel daran, dass diese Gleichung nur numerisch gelöst werden kann.

Salopp gesagt, gibt's doch für alles eine mathematische Funktion, die die Umkehrfunktion darstellt.

Die Umkehrfunktion der oben stehenden Funktion wäre schließlich die folgende:

x = f⁻¹(x)cos(f⁻¹(x))

Und diese Funktion nach f⁻¹(x) aufzulösen ist doch wohl nicht unmöglich?!

LG Willibergi 

Kommentar von Australia23 ,

Um den 1. Teil geht es in deiner Frage ja gar nicht, da habe ich mich, wie gesagt, verlesen. Mit dem Hinweis wollte ich nur verdeutlichen, dass die Funktion in diesem Fall bloss abschnittsweise definiert ist.

Mit dem 2. Teil meiner Antwort (nach dem Zitat) nahm ich dann Bezug auf deine eigentliche Frage.

Ich hege nur sehr große Zweifel daran, dass diese Gleichung nur numerisch gelöst werden kann.

"Diese Gleichung": x*cos(x)=1/2 ?

Salopp gesagt, gibt's doch für alles eine mathematische Funktion, die die Umkehrfunktion darstellt.

Da du mit der Gleichung keine Funktion vorliegen hast, würde ich sagen, kommt diese Begründung hier nicht zu Zuge.

Die Funktion f(x)=x*cos(x)-1/2 entspricht ja nur der Gleichung, wenn f(x)=0. Daher verstehe ich nicht, warum du hier eine Umkehrfunktion bilden möchtest.

Zudem frage ich mich, ob du einen Fehler / eine Lücke in meiner Herleitung siehst, da du diese zu "ignorieren" scheinst. Wenn ja, würde ich mich über eine Erklärung freuen :)

Kommentar von Willibergi ,

Da du mit der Gleichung keine Funktion vorliegen hast, würde ich sagen, kommt diese Begründung hier nicht zu Zuge.

Das ist ja unwichtig. Es geht allgemein um die Lösung - ob xcos(x) = 1/2 oder 0 oder 5/67, ist mir egal, es geht ums Prinzip.

Um das eigentliche Problem mal schärfer zu formulieren:

Sei f(x) = xcos(x), dann ist f⁻¹(x) die folgende Gleichung, nach f⁻¹(x) aufgelöst: x = f⁻¹(x)cos(f⁻¹(x)). Sollte plausibel sein.

Wenn wir f⁻¹(x) durch u substituieren, erhalten wir:

x = ucos(u) und somit im Prinzip wieder eine Art der ersten Gleichung.

Das einzige, was ich suche, ist grundsätzlich nur eine Umformung nach u.

Dass das nach Hunderten von Jahren Mathematik nicht möglich ist, wage ich zu bezweifeln.

Zudem frage ich mich, ob du einen Fehler / eine Lücke in meiner Herleitung siehst, da du diese zu "ignorieren" scheinst. Wenn ja, würde ich mich über eine Erklärung freuen :)

Welche meinst du genau?

Diese hier?

x*cos(x)=1/2 -> f(x) = x*cos(x)-1/2

Das hast du ja schon selbst erkannt:

Die Funktion f(x)=x*cos(x)-1/2 entspricht ja nur der Gleichung, wenn f(x)=0.

Die Funktion ist aber insofern ok, da man hier auch einfach die Nullstellen berechnen könnte, was aufs selbe rauskommt.

Verstehst du das Dilemma?

Ich bin eigentlich nicht unwissend im Bereich Mathematik, aber das ist mir nicht wirklich plausibel. ^^

LG Willibergi

Kommentar von Australia23 ,

Egal wie du die Gleichung formulierst, es bleibt eine Gleichung und wird nicht zu einer Funktion:

x*cos(x)=0 -> f(x)=x*cos(x) = 0

Mit deiner „neu-Formulierung“

Sei f(x) = xcos(x), dann ist f⁻¹(x) die folgende Gleichung, nach f⁻¹(x) aufgelöst: x = f⁻¹(x)cos(f⁻¹(x)). Sollte plausibel sein.

änderst du also die Voraussetzungen: die Bedingung f(x)=0 fällt weg. Hier haben wir es also mit einem ganz anderen „Problem“ zu tun: mit einer Funktion (nicht mit einer Gleichung, wie in deiner Fragestellung).

Also neu: Wir haben die Funktion f(x)=x*cos(x) und wollen diese nach x umformen.

f(x)=y=x*cos(x) -> Immer noch keine Gleichung, bzw. eine Funktion, also muss man hier "einfach" eine Umkehrfunktion finden.

(Deine Formulierung sagt ja dasselbe aus: y=x*cos(x), nach x umformen <=> x=u*cos(u), nach u umformen)

Ob man zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion bilden kann?

„Eine Funktion, deren Umkehrfunktion existiert, wird auch als invertierbar bezeichnet.“

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion

Welche meinst du genau?

Diese hier?

x*cos(x)=1/2 -> f(x) = x*cos(x)-1/2

Nein, ich meinte meine Begründung, weshalb du die Gleichung (!) x*cos(x)=*Konstante* nicht nach x auflösen kannst. Die Herleitung über die Nullstelle der Funktion f(x)=x*cos(x)-*Konstante*. Aber hier lag ja anscheinend ein Missverständnis vor...

Kommentar von Australia23 ,

Ergänzung:

Die neue Frage bezüglich der Funktion f(x)=x*cos(x) wäre also, ob diese invertierbar ist. Hier müsste ich mich auch zunächst noch erkunden...

Antwort
von einfachsoe, 28

Umformungen gibt es immer. Du kannst immer etwas hinzufügen oder anders schreiben.

Vereinfachen geht jedoch nicht immer. Das ist ein logisches Spiel. Wäre eine solche Gleichung immer weiter vereinfacher, dann würde man über den trivialsten Fall f(x,y)=x+y hinauskommen.

Kommentar von Willibergi ,

"Umformungen gibt es immer."

Damit sind Umformungen nach einer Variable gemeint.

LG Willibergi 

Kommentar von einfachsoe ,

Ach so...

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