Frage von deinemudda237u, 58

Steckbriefaufgaben ich finde meine Fehler nicht?

Hallo liebe Community, brauche nochmals Hilfe bei zwei Aufgaben:(. finde bei denen einfach mein Fehler nicht 1. Der Graph hat in H(-2|3) einen Hochpunkt und in T (1|1) einen Tiefpunkt und einen weiteren Hochpunkt mit der x-Koordinate 2. Habe jetzt die Bedingungen: f(-2)=3 f(1)=1 f'(-2)=0 f'(1)=0 f'(2)=0 habe gedacht es handle sich um einen Polynom 4. Grades und habe somit folgene Funktionen aufgestellt: 16a-8b+4c-2d+e=3 a+b+c+d+e=1 -32a+12b-4c+d=0 a+b+c+d=0 32a+12b+4c+d=0 ich kriege ständig keine Lösung raus. Ist den das richtig? 2. Der Graph hat einen Sattelpunkt S(1|5) einen Tiefpunkt T(2|2) und einen Hochpunkt bei x=4 Musst ich da mit einem Polynom vierten oder fünften Grades arbeiten? Weil die Bedingungen sind ja f(2)=2 f'(2)=0 f'(4)=0 f(1)=5 f'(1)=0 f''(1)=0

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 5 hat einen Sattelpunkt S(1|5) einen Tiefpunkt T(2|2) und einen Hochpunkt bei x=4.

f(x) = ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f,

f '(x) = 5ax⁴+4bx³+3cx²+2dx+e,

f ''(x) = 20ax³+12bx²+6cx+2d

Bedingungen:

I.  f(1) = 5
II.  f '(1) = 0
III.  f ''(1) = 0
IV.  f(2) = 2
V.  f '(2) = 0
VI.  f '(4) = 0

Lineares Gleichungssystem:

I.  a+b+c+d+e+f = 5
II.  5a+4b+3c+2d+e = 0
III.  20a+12b+6c+2d = 0
IV.  32a+16b+8c+4d+2e+f = 2
V.  80a+32b+12c+4d+e = 0
VI.  1280a+256b+48c+8d+e = 0

Dann erhält man als Funktionsgleichung

f(x) = -3x⁵+30x⁴-105x³+165x²-120x+38

Kommentar von deinemudda237u ,

verläuft das denn durch die Punkte?

Kommentar von everysingleday1 ,

Wenn es nicht so wäre, dann hätte ich auf deine Frage nicht geantwortet :)

Kommentar von deinemudda237u ,

achso ok danke 😄 mir ist gerade aufgefallen, dass mein Taschenrechner einfach nicht alle Zahlen angezeigt hat😐

Antwort
von Melvissimo, 24

Zur zweiten Aufgabe: 

Du hast 6 Gleichungen, also solltest du auch erst einmal ein Polynom fünften Grades ansetzen:

y = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f.

Wenn du später herausfindest, dass eine Gleichung in irgendeiner Weise redundant sind (d.h. eine der Gleichungen ist überflüssig), kannst du immer noch künstlich die Gleichung a = 0 hinzufügen, sodass das Polynom letzten Endes dann nur Grad 4 hat.

Problematisch wird es erst, wenn das Polynom fünften Grades die Randbedingungen nicht erfüllt (z.B. könnte es bei (2|2) ein Extremum haben, aber keinen Tiefpunkt) oder - noch schlimmer - wenn die Gleichungen sich widersprechen.

Beide Fälle treten hier aber nicht auf; ich habe die Aufgabe mal durchgerechnet. Sie ist mit einem Polynom fünften Grades lösbar.

Kommentar von deinemudda237u ,

also ich habe jetzt die Gleichungen aufgestellt, aber komme auf unlogische Ergebnisse: 32a+16b+8c+4d+2e+f=2 80a+32b+12c+4d+e=0 1280a+256b+48c+8d+e=0 a+b+c+d+e+f=5 5a+4b+3c+2d+e=0 20a+12b+6c+2d=0

Kommentar von Melvissimo ,

stimmt soweit. Wenn du das LGS richtig löst, solltest du auf ein korrektes Ergebnis kommen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 38

1. Aufgabe:
Basis: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = y

Ableiten kannst du selber, das tippe ich jetzt nicht ab.

Ich schreibe mal nur die 5 Gleichungen auf mit den Bedingungen davor, die ich gern etwas struktrierter schreibe als du. Dann findet man auch leichter was.

f(-2)=3        16a - 8b + 4c - 2d + e  =  3

f(1)=1             a  + b +  c   + d + e =  1

f '(-2)=0     -32a + 12b - 4c +d        =  0

f '(1)=0         4a  + 3b + 2c + d       =  0

f '(2)=0        32a +12b + 4c + d      =  0

Das wären die 5 Gleichungen. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt, habe nach dem Abschreiben nochmal geprüft.
Mit diesen Werten habe ich auch gerechnet, allerdings nur auf 2 Dezimalstellen, weil ich wieder hoffte, es werde ganzzahlig.

Meine Lösung: f(x) = -0,04x⁴ + 0,06x³ + 0,36x² -0,71x + 1,34

Die Abweichungen sind im Nachkommabereich und damit vertretbar.

Zur 2. Aufgabe hatte ich erstmal keine Lust mehr.
Wann brauchst du sie.

Kommentar von fjf100 ,

verständlich,zumal man ja nicht bezahlt wird !!

Kommentar von Volens ,

Zu sagen vergessen hatte ich, dass du wahrscheinlich beim Vergleichen schnell auf die Stellen stoßen wirst, die bei dir anders sind. Es müsste dir dann möglich sein, die Koeffizienten für a bis e erst auszurechnen, wenn du die Punkte einsetzt, und dann mal meine zum Vergleich heranzuziehen.

Kommentar von deinemudda237u ,

ok danke:) hab noch bis Montag Zeit

Kommentar von deinemudda237u ,

mir reicht aber nur, wenn ich einfach nur den Ansatz habe:) den Rest krieg ich selber hin. Finde nur die ganze Zeit meine Fehler nicht

Kommentar von Volens ,

Hast du denn jetzt die Fehler in deinem Ansatz gefunden?
Ich habe gerade nicht die Zeit, deinen Text daraufhin zu untersuchen. Aber irgendwo muss es ja Abweichungen geben, wenn du zu keinem Ergebnis kommst, und die kann man dann ja spezifizieren, wenn man die Eingabeparameter betrachtet.

Womit rechnest du die LGS eigentlich? Denn die 2. Aufgabe geht anscheinend noch einen Grad weiter, wenn ich das eben richtig gesehen habe; dann wären wir schon bei 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten.

Da spielen die meisten Rechner schon gar nicht mehr mit. Da ich mir die Aufgabe noch nicht genauer angesehen habe, weiß ich nicht, ob es irgendwo Vereinfachungen geben wird.

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