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2 Antworten

Zu 1.)

Es folgt:   f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f(1) = -1

f(0) = 0   ---> e = 0

f´´(1) = 0

f´´(0) = 0  ----> c = 0

f´(0) = 0  -----> d = 0

--> f(x) = ax^4 + bx^3 = x^3*(ax + b)

Es existieren also 2 Unbekannte und mit f(1) = a + b = -1

und f´´(1) = 12a + 6b = 0

hast du 2 linear unabhängige Gleichungssysteme die du also eindeutig lösen kannst. Daraus folgt für a und b:

-6b = 12   ----> b = -2  -----> a = 1

damit folgt also als Lösung für f:

f(x) = x^3*(x - 2)

Zur Überprüfung hier ein Link zu Wolframalpha wo die Wendepunkte dargestellt/berechnet werden:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inflection+points(+x%5E3*(x+-+2))

Zu 2.)

mit 3 Extrema folgt:   f´(x) besitzt 3 Nullstellen, als kleinstmögliches Polynom kommt also eine Funktion 4.Grades in Frage.

Es folgt:

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f(-2) = 3

f(1) = 1

f´(2) = 0

f´(-2) = 0

f´(1) = 0

Da 3 Nullstellen von f´(x) bekannt folgt:

f´(x) = k*(x-2)*(x+2)*(x-1) = k*(x^3 - x^2 -4x + 4)

Durch integrieren folgt also:

f(x) = k*(0,25*x^4 - 0,33*x^3 - 2x^2 + 4x) + e

Einsetzen liefert:

f(1) = k*23/12 + e = 1

f(-2) = k(-28/3) + e  = 3

Und damit folgen die 2 linear unabhängigen Gleichungen:

23k + 12e = 12

-28k + 3e = 9

-->-112k + 12e = 36

---> 135k = -24

-----> k = -24/135 = -8/45

-------> e = 181/135

---------> f(x) = (-8/45)*(0,25*x^4 - (1/3)*x^3 - 2x^2 + 4x) + 181/135

Die Funktion lautet also:

f(x) = (-8/45)*(0,25*x^4 - (1/3)*x^3 - 2x^2 + 4x) + 181/135  

hier dazu mal ein Link von Wolframalpha der die Extremstellen dieser gefundenen Funktion bestätigt:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema((-8%2F45)*(0,25*x%5E4+-+(1%2F3)*x%5E3+-+2x%5E2+%2B+4x)+%2B+181%2F135)

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ich denke das ist alles korrekt.

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