Frage von lucacab, 64

Statistik rechnen mit Standartabweichung?

Wie kann ich mit gegebenem Mittelwert und Standartabweichung Berechnungen zur Verteilung der Werte durchführen?
Ich habe zB die Aufgabe der Mittelwert der Ergebnisse der Schüler ist 532,31 Standartabweichung 96,47 Schülerin erreicht 550 wie groß ist der Anteil der Schüler die ihrem Wert übersteigen?
Und wo die punktegrenze zu den leistungsschwächsten 30% liegt.
Weiß jemand wie man das berechnet?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 31

Ich gehe davon aus, dass du die Normalverteilung meinst, hast du aber nicht gesagt.

Für normalverteilte Größen liegen a % aller Werte im Intervall [ μ - k * σ, μ + k * σ]

μ = Erwartungswert bzw. Mittelwert

σ = Standardabweichung

k und a sind miteinander über die Gaußverteilung (Gaußsche Glockenkurve) verbunden -->

φ(x) = 1 / (σ * √(2 * π)) * e ^ (-(x - μ) ^ 2 / (2 * σ ^ 2))

Setzt man σ = 1 und μ = 0 kann man das vereinfachen zu -->

φ(x) = 1 / √(2 * π) * e ^ (- (1 / 2) * x ^ 2)

Das kann man nun integrieren -->

∫ 1 / √(2 * π) * e ^ (- (1 / 2) * x ^ 2) * dx

einfacher geschrieben

∫ φ(x) * dx

Tabelle : Grenze von | bis | Wert des Integrals -->

-∞ | + ∞ | 1

- 2.575829 | + 2.575829 | 0.99

- 1.644854 | + 1.644854 | 0.9

- 1.281552 | + 1.281552 | 0.8

- 1.036 | + 1.036 | 0.7

-0.842 | + 0.842 | 0.6

- 0.675 | + 0.675 | 0.5

- 0.5244 | + 0.5244 | 0.4

- 0.183373069 | + 0.183373069 | 0.145495

usw.

Diese Werte sind ungefähre Werte, soll heißen mehr oder weniger gut gerundet oder geschätzt.

Das lässt sich nun auf Integrale mit μ ≠ 0 und σ ≠ 1 übertragen.

k = Absolutwert der unteren bzw. oberen Intervallgrenze der integrierten Gaußverteilung !!

Bei deiner Aufgabe ist μ = 532.31 und σ = 96.47

Schülerin erreicht 550 wie groß ist der Anteil der Schüler die ihrem Wert übersteigen?

550 = μ + k * σ

550 = 532.31 + k * 96.47 | -532.31

17.69 = k * 96.47 | : 96.47

k = 0.183373069 --> 0.145495 (siehe Tabelle)

1 - 0.145495 = 0.854505

85,4505 % aller Schüler übertreffen ihren Wert.

Und wo die Punktegrenze zu den leistungsschwächsten 30% liegt.

Tabelle --> k = 0.5244 (100 % - 2 * 30 % = 40 %)

μ - k * σ = 532.31 - 0.5244 * 96.47 = 481.72 (gerundet)

Die schwächsten 30 % der Schüler hat weniger als 481.72 Punkte.


Kommentar von lucacab ,

Vielen Dank für deine detaillierte Antwort! Die 85% aller Schüler die den Wert übersteigen.. Ist das nicht etwas unlogisch bei einem Mittelwert von 532 dass 85% der Schüler über 550 kommen? Bei der zweiten Frage habe ich vergessen zu erwähnen, dass dort der Mittelwert 527,19 und die Standartabweichung 87,66 ist. Wie würde man das dort berechnen?

Kommentar von DepravedGirl ,

Deine andere Frage habe ich dir bereits beantwortet !

Ja, es kann auch sein, dass ich da einen Denkfehler gemacht habe, wenn das so ist, dann wären es 100 % - 50 % - 14.55 % = 35.45 %

Frage deinen Lehrer noch mal nach, ob es 35.45 % oder 85.45 % ist, ich glaube jetzt selber, dass es doch die 35.45 % sind.

Kommentar von DepravedGirl ,

Noch eine Variante --> 100 % - 50 % - 14.55 % /  2 = 42.725 %

Ich bin mir momentan selber unsicher, also Lehrer fragen oder auf eine bessere Antwort warten, als meine !!

Antwort
von HWSteinberg, 10

Zu DepravedGirl: Deine letzte Vermutung ist richtig: 14,55% liegen innerhalb des Intervalls [532.31-17.69, 532.31+17.69]. Da die Normalverteilung symmetrisch ist, liegt halb so viel, 7.275%, in [532.31, 532.31+17.69=550]. Da aber in [532.31, unendlich) 50% aller Werte liegen (Symmetrie!), liegen oberhalb von 550 42.725%


Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Information !

Antwort
von iokii, 37

Ich denke mal, du gehst einfach von der Normalverteilung aus, weil fast alles Normalverteilt ist

Kommentar von lucacab ,

Und dann?😅

Kommentar von iokii ,

Dann rechnest du es auf die Standartnormalverteilung um und schaust dir eine Quantilstabelle an.

Kommentar von lucacab ,

Könntest du das mal genauer erklären wie das funktioniert?
Anderes Beispiel: Mittelwert 527,19 Standartabweichung 87,66 wie würde man da zB auf die Grenze zu den unteren 30% kommen?

Kommentar von iokii ,

Ne, hab die Formeln grad nicht da.

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