Frage von Stats2016, 85

Statistik Problem, Bernoulli oder wie löst man diese Aufgabe?

Aus einem Fragenkatalog mit 300 Fragen kommen 4 Fragen in der Prüfung dran. Um zu bestehen, müssen 3 Fragen richtig beantwortet werden. Wie viele der 300 Fragen müssen Sie wissen um mit einer 75%igen Wahrscheinlichkeit durch die Prüfung zu kommen?

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, eventuell sogar mit Rechenweg, wie diese Aufgabe zu lösen ist.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 35

Hallo,

ich habe es über die hypergeometrische Verteilung berechnet, wobei ich von folgender Überlegung ausgegangen bin:

Drei oder vier von den 4 ausgewählten Prüfungsfragen müssen zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,75 mit den Fragen übereinstimmen, die Du gelernt hast, damit Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,75 die Prüfung bestehst.

Du hast also unter den 300 Fragen k 'Treffer', die von Dir gelernten Fragen, und 300-k 'Nieten', die Fragen, auf die Du nicht vorbereitet bist.

Da die Prüfung bei der richtigen Beantwortung von 3 oder 4 Fragen bestanden ist, brauchst Du die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten dafür, daß alle vier Prüfungsfragen von Dir gelernt wurden und daß 3 von 4 Prüfungsfragen von Dir gelernt wurden.

Du rechnest also (für den Binomialkoeffizienten a über b nehme ich die Taschenrechnerbezeichnung anCrb):

[knCr4+knCr3*(300-k)nCr1]/300nCr4=0,75

Da ich nicht weiß, wie man das nach k auflösen soll, habe ich ein wenig herumprobiert und bin so auf k=227 gekommen.

(227nCr4+227nCr3*73nCr1)/300nCr4=0,7502

Du mußt also 227 Fragen lernen, um zu 75 % Wahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Stats2016 ,

Vielen Dank, bis auf eine Sache kann ich dein Ansatz nachvollziehen. Der Nenner besagt ja alle Möglichkeiten, also umschliesst alle 300 Fragen die theoretisch drankommen können.

Im Zähler steh ich jetzt leicht auf dem Schlauch. Ist die erste Über Klammer, dass man 4 weiß und die zweite, dass man 3 weiß? Am meisten verwirrt mich jedoch die Nieten Klammer. Wieso nimmst du als untere Zahl die 1? Ist das dann eine absolute Zahl, sprich 300-K weiß man nicht und Fakultät 1 unten,damit sich nichts kürzt?

Nochmals Danke

Kommentar von Willy1729 ,

knCr4 bedeutet, daß alle vier Fragen aus dem Topf der Treffer kommen und keine aus dem Topf der Nieten. Da (300-k)nCr0=1 ist, habe ich das weggelassen.

knCr3*(300-k)nCr1 bedeutet: Drei Fragen kommen aus dem Treffertopf, eine aus dem Nietentopf.

Der Nenner ist dabei immer gleich, weil für die Prüfung auf jeden Fall 4 aus 300 möglichen Fragen ausgewählt werden.

Kommentar von Stats2016 ,

Alles klar, jetzt ist es einleuchtend :)

Nun bleibt als einziges Problem, wie du schon sagtest die Auflösung nach k übrig.

Mal schauen ob ich das noch irgendwie hinbekomme.

Tausend Dank

Kommentar von Willy1729 ,

Wie gesagt, ich habe mich an das richtige Ergebnis durch Probieren herangetastet. Geht auch.

Antwort
von Schachpapa, 45

Die Trefferwahrscheinlichkeit sei p.

Dann ist P(X=3)+P(X=4)

=4*p^3*(1-p)+p^4 = 4p^3-3p^4

Das soll mindestens 75℅ sein. Du bestimmt das p bei dem 

4p^3-3p^4=0,75

p*300 ist dann die Anzahl der Fragen, die man sicher können muss.

So müsste es gehen.

Kommentar von Stats2016 ,

Danke, aber kannst du mir kurz erklären wie du auf 4p^3 und 3p^4 kommst? Verstehe den Rechenweg leider nicht?

Kommentar von Schachpapa ,

Klammer ausmultiplizieren...

Kommentar von Stats2016 ,

Das ist schon klar. Ich meine, wieso gerade diese zahlen. Das Gleichungssystem am Ende fällt mir auch nicht leicht mit 2 verschiedenen Exponenten.

Kommentar von Schachpapa ,

Nach der Faustregel:
"Wenn die Grundgesamtheit mehr als 20 mal so groß ist wie die Stichprobe, liefern Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung ähnliche Ergebnisse"

bin ich von einer Binomial-Verteilung ausgegangen und habe wegen des relativ großen Fragenpools vernachlässigt, dass dann auch 2x dieselbe Frage gezogen werden kann.

Dann ist bei 4 Ziehungen:
P(X=3) = (4 über 3) * p^3 * (1-p)^1 = 4*p^3*(1-p)
P(X=4) = (4 über 4) * p^4 * (1-p)^0 = p^4

P(X=3)+P(X=4) = 4*p^3*(1-p)+p^4 = 4*p^3 - 4*p^4 + p^4 = 4p^3 - 3p^4

4p^3 - 3p^4 = 0.75 hat im Intervall 0 <= p <= 1
eine Lösung bei p = 0.756978 (per Näherung ermittelt)

Das ist also die Trefferwahrscheinlichkeit, die mir obiges Ergebnis ermöglicht.

Wenn ich mehr als

0.756978 * 300 = 227,1 Fragen weiß, bestehe ich die Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von 75%.

Kommt also auf das gleiche Ergebnis wie Willy1729, der es mit Hypergeometrischer Verteilung gelöst hat.

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