Frage von Spongifreak01, 34

Stanmfunktion von der unten stehenden Funktion?

Hallo :)
Meine Funktion lautet x/(2x-6) und ich frag mich wie die stammfunktion dazu heißt.
Als ich es selbst gerechnet hab war es meiner Meinung 1/2*ln(2x-6) * x^2
Aber im Hefter haben wir was komplett anderes aufgeschrieben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Antwort
von bishare, 18

http://www.integralrechner.de/

Hier deine Funktion reinschreiben, - Los klicken  und schon hast du die Lösung. Ist dir die Lösung unklar, kannst du noch einen Rechenweg anzeigen lassen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 3

Hallo,

substituiere 2x-6 durch z

z=2x-6

dz/dx=2; dx=0,5z

x=0,5z+3

f(z)=(0,5z+3)/2z=0,5z/z+3/2z=0,5+1,5*1/z

F(z)=0,5x+1,5*ln|z|

F(x)=0,5x+1,5*ln|2x-6

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Luksior, 9

Mit einem kleinen Trick sparst du dir die Substitution hier.

Vorher angenommen, du hast eine Kettenfunktion f(x) = g(h(x)) gegeben.

Dann ist f'(x) = g'(h(x)) * h'(x). Ist g(x) = ln(x), dann ist g'(x) = 1/x, also ist f'(x) = 1/h(x) * h'(x) = h'(x)/h(x).

Schaffst du es also, dein Integral in die Form h'(x)/h(x) zu bringen, so ist die Lösung dieses Integrals F(x) = ln(h(x)) [Das kannst du dir merken, weil du so bei linearen Gleichungen im Nenner viel Arbeit sparen kannst].

Ich bezeichne im Folgenden das unbestimmte Integralzeichen als ||.

|| x/(2x-6) dx

= 1/2 * || x/(x-3) dx

= 1/2 * || (x-3+3)/(x-3) dx

= 1/2 * || 1 + 3/(x-3) dx

= 1/2 * || 1 dx + 1/2 * || 3/(x-3) dx

= 1/2 * x + 1/2 * 3 * || 1/(x-3) dx [Das zweite Integral ist nun in der Form h'/h]

= 1/2 * x + 3/2 * ln(x-3) + C

Kommentar von Spongifreak01 ,

Vielen Dank für die Antwort hab es verstanden :)
Hoffentlich versteh ich es morgen in der Mathe Klausur immer noch :D

Kommentar von Luksior ,

Würde ich aber nur so machen, wenn dein Lehrer alternative Lösungswege akzeptiert^^

Kommentar von Willy1729 ,

Du kommst auch durch Partialbruchzerlegung auf diese Form:

x/(2*(x-3))=A/2+B/(x-3)

x/[2*(x-3)]=[A*(x-3)+2B]/[2*(x-3)]

x=A*(x-3)+2B=Ax-3A+2B

Koeffizientenvergleich:

A=1

-3A+2B=0

2B=3

B=1,5

f(x)=1/2+1,5*(1/(x-3))

F(x)=(1/2)x+1,5*ln|x-3|+C

Herzliche Grüße,

Willy

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