Frage von Lurando, 27

Standardabweichung von drei Mittelwerten mit eigener Standardabweichung?

Ich habe drei Messwerte (a,b,c) die jeweils eine eigene Standardabweichung (A,B,C) haben. Nun möchte ich von diesen drei Messwerte einen Mittelwert berechen, dass ist ja nicht weiter schwer. Wie mache ich es allerdings mit der Standardabweichung?

Ich könnte natürlich die Standardabweichung alles Einzelwerte zusammen bestimmen, dass würde aber einen immensen Aufwand in meiner Tabellenkalkulation verursachen. Daher brauche ich die Formel, um die Standardabweichung aus A,B,C als Mittelwert zu berechnen.

(Falls es wichtig ist. Alle drei Messwerte haben die selbe Probenzahl. Ich brauche also kein gewichtetes Mittel.)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 17

Man schreibe Zufallsvariable groß. Ich nenne deine Zufallsvariable X, Y, Z und deren „Mittelwerte“ (Erwartungswerte) 𝔼[X], 𝔼[Y], 𝔼[Z].

Kurz gesagt gilt:

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
+ 2·(Cov(X,Y)+Cov(X,Z)+Cov(Y,Z))
)

Hierbei ist Cov(X,Y) die Kovarianz berechnet durch 𝔼[(X-𝔼[X])·(Y–𝔼[Y])]. Falls X,Y,Z paarweise unabhängig sind, so gilt Cov(X,Y)=Cov(X,Z)=Cov(Y,Z)=0 und in diesem Falle gilt sogar:

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
)

Diese Rechnungen ergeben sich aus den u. s. Ergebnissen.

Frage. Sind die Zufallsvariablen (deine a, b, c) paarweise unabhängig? Z. B. handelt es sich um Laplace-Versuche?

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Allgemein gültige Ergebnisse…

Satz 1. Sei X eine L²-Zufallsvariable und s eine Skalar. Dann gilt Var(s·X)=s²·Var(X). ⊣

Satz 2. Seien X, Y L²-Zufallsvariable. Dann gilt Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2·Cov(X,Y). ⊣

Folgerung. Seien X[i], i<n L²-Zufallsvariable. Dann gilt Var(∑X[i]) = ∑Var(X[i]) + ∑Cov(X[i],X[j]), wobei letzteres ist die Summe über alle Indizes mit i≠j. ⊣

Kommentar von Lurando ,

Hmm, schwer zu verstehen für mich.

Aber da alle Stichproben unabhängig voneinader sind könnte ich diese Formel benutzen?

Ich müsste praktisch vorher die Standardabweichung quadrieren, da diese ja die Wurzel der Varianz ist, oder?

Var((X+Y+Z)/3) = 1/3²·(
Var(X)+Var(Y)+Var(Z)
)
Kommentar von kreisfoermig ,

1. wenn alle zugrunde liegenden Beobachtungen in den Stichproben sowie zwischen den Stichproben paarweise unabhängig sind, dann  ja: X, Y, Z (deine a, b, c) sind paarweise unabhängig.

2. Genau: Varianz = std. Abw.²

3. beachte, dass, wenn du die Standardabweichung, σ, der zugrunde liegenden zu beobachtenden Variablen kennst, solltest du einfach berechnen Var(Mittelwert von Mittelwerten) = σ² / 3n, wobei n = Größe der jeweiligen Stichproben. (Du wirst sehen, dass dasselbe rauskommt, nur sparst du dir dadurch eben viel unnötige Mühe.) Denn im Allgemeinen gilt:

Satz 3. Sei Q eine L²-ZV und beobachte m paarweise unabhängige Vorkommnisse Q[0], Q[1], …, Q[m–1] mit Q[i] ~ Q für alle i. Dann gilt

Var(Mittelwert) = Var(∑Q[i]/m)
= (∑ Var(Q[i])) / m²
= (m·Var(Q)) / m²
= Var(Q) / m. ⊣

(Du hast insgesamt m = 3n Beobachtungen.)

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