Frage von kleeblaettchen,

Stammfunktion von tanx

Hallöchen,

sorry, es geht schon wieder um meine Hausaufgabe :D

Wir sollen die Regel "Stammfunktionen einer Funktion g(x)=f'(x) / f(x) [wenn f(x) > 0] sind G(x) = ln(f(x)) + C."anwenden.

Das heißt ja eigentlich, dass die Form einer Funktion g, bei der man diese Regel anwenden möchte, "Funktion f, die immer größer 0 ist im NENNER und deren Ableitung f'im ZÄHLER". Dann ist die Stammfunktion G : ln(f(x)) + C.

Ist das richtig verstanden? Und warum muss f immer größer als 0 sein?

Nun ist die Stammfunktion von k(x)= tanx auf D = ]-pi / 2; pi / 2[ gesucht. tanx ist ja sinx / cosx, also ist k(x) = sinx / cosx. Okay, soweit klar.

Laut der Regel müssen ja nun quasi zwei Sachen erforderlich sein:

  1. f(x), also der Nenner des Bruchs, in diesem Fall cosx, darf nur positive Werte annehmen. ABER: cosx hat ja auch negative Werte, und den Betrag kann ich ja nicht nehmen, oder (sinx / |cosx | ist ja nicht mehr tanx )?

  2. Der Zähler muss die Ableitung des Nenners sein. Aber die Ableitung von cosx ist ja MINUS sinx, also müsste es eigentlich k(x) = - sinx / cosx heißen - was aber wieder nicht mehr tanx ist...

Was jetzt?

Oder ist die Ableitung von | cosx | gleich PLUS sinx, und sinx / | cosx | doch gleich tanx?

Kann mir eventuell jemand nen Tipp geben, wie ich das machen kann? Mir geht es nicht um die Lösung hier, sondern nur darum , einen Weg zu finden..

Ist eventuell der erste Schritt - also statt tanx, sinx / cosx zu schreiben, schon falsch..?

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - wie gesagt, gehts mir nicht um die Lösung, sondern um den richtigen Weg dorthin. Muss die Hausaufgabe nämlich morgen der Klasse vorstellen.

LG kleeblaettchen

Antwort von psychironiker,

A. Richtig verstanden hast du das.

f(x) > 0 ist eine notwendige Bedingung, weil der ln für negative Argumente nicht definiert ist ( -> ln(f(x)) exsitiert nicht für f(x) ≤ 0)

B. Tief durchatmen, kein Panik:

Für das zu betrachtende Intervall D = ]-pi / 2; pi / 2[ ist "ganz zufällig" der cos überall positiv.

C. Die Zerlegung ist richtig. (cos(x))' = -sin(x) ist auch richtig.

| cos(x) | ist an seinen Nullstellen nicht differenzierbar ( "Ecke" im Graph) und hat also auch insbesondere nicht die Ableitung sin(x).

D. Ausweg:

(1) Mit

∫ tan(x)dx = ∫ (-1)² tan(x)dx = - ∫ - tan(x)dx;

bis du hast du das Vorzeichen, dass du zur Anwendung der Regel brauchst.

Kommentar von psychironiker,

Die Wörter "bis du" in der letzten Zeile sind zuviel.

Antwort von appletman,

y = tan(x) = sin(x)/cos(x)

y = sin(x) bedeutet: y ' = cos(x)

y = cos(x) bedeutet: y ' = - sin(x)

Ist g(x) = f '(x)/f(x) gegeben? Ja, bis auf das Vorzeichen:

y = sin(x)/cos(x) = - (-sin(x)/cos(x))

G(x) = ln(f(x)) + C = - ln cos(x) + C für cos(x) > 0

Laut Lehrbuch ist die Lösung: G(x) = - ln |cos(x)| + C, was wohl dasselbe ist?!

Kommentar von Yakob,

Dasselbe ist es nicht.

Aber die Aussage, dass z.B. die Stammfunktion von 1/x gleich ln(x)+C sei, ist eben nur die halbe Wahrheit (gültig für positive x). Wenn man gleich sagt, dass man ln(|x|)+C nehmen sollte, dann gilt dies auch für negative x. An der Stelle Null geht's natürlich nicht, weil da weder 1/x noch der Logarithmus definiert sind.

Kommentar von appletman,

Im Bronstein habe ich eben die folgende Lösung gefunden:

Integral(tan(ax) dx) = - (1/a) * ln(cos(ax)),

und zwar ohne die Betragszeichen!

Bei dem Link unten allerdings mit Betragszeichen! Was gilt denn nun?

http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen

Antwort von Yakob,

Kopier deine Frage und bringe sie im Matheraum vor:

www.matheraum.de

Dort sind Mathefragen willkommen, nicht wie hier ! Und außerdem kann man dort Formeln auch richtig darstellen, z.B. mit Bruchstrichen etc.

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