Frage von kleeblaettchen,

Stammfunktion von tanx

Hallöchen,

sorry, es geht schon wieder um meine Hausaufgabe :D

Wir sollen die Regel "Stammfunktionen einer Funktion g(x)=f'(x) / f(x) [wenn f(x) > 0] sind G(x) = ln(f(x)) + C."anwenden.

Das heißt ja eigentlich, dass die Form einer Funktion g, bei der man diese Regel anwenden möchte, "Funktion f, die immer größer 0 ist im NENNER und deren Ableitung f'im ZÄHLER". Dann ist die Stammfunktion G : ln(f(x)) + C.

Ist das richtig verstanden? Und warum muss f immer größer als 0 sein?

Nun ist die Stammfunktion von k(x)= tanx auf D = ]-pi / 2; pi / 2[ gesucht. tanx ist ja sinx / cosx, also ist k(x) = sinx / cosx. Okay, soweit klar.

Laut der Regel müssen ja nun quasi zwei Sachen erforderlich sein:

  1. f(x), also der Nenner des Bruchs, in diesem Fall cosx, darf nur positive Werte annehmen. ABER: cosx hat ja auch negative Werte, und den Betrag kann ich ja nicht nehmen, oder (sinx / |cosx | ist ja nicht mehr tanx )?

  2. Der Zähler muss die Ableitung des Nenners sein. Aber die Ableitung von cosx ist ja MINUS sinx, also müsste es eigentlich k(x) = - sinx / cosx heißen - was aber wieder nicht mehr tanx ist...

Was jetzt?

Oder ist die Ableitung von | cosx | gleich PLUS sinx, und sinx / | cosx | doch gleich tanx?

Kann mir eventuell jemand nen Tipp geben, wie ich das machen kann? Mir geht es nicht um die Lösung hier, sondern nur darum , einen Weg zu finden..

Ist eventuell der erste Schritt - also statt tanx, sinx / cosx zu schreiben, schon falsch..?

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte - wie gesagt, gehts mir nicht um die Lösung, sondern um den richtigen Weg dorthin. Muss die Hausaufgabe nämlich morgen der Klasse vorstellen.

LG kleeblaettchen

Antwort von appletman,

y = tan(x) = sin(x)/cos(x)

y = sin(x) bedeutet: y ' = cos(x)

y = cos(x) bedeutet: y ' = - sin(x)

Ist g(x) = f '(x)/f(x) gegeben? Ja, bis auf das Vorzeichen:

y = sin(x)/cos(x) = - (-sin(x)/cos(x))

G(x) = ln(f(x)) + C = - ln cos(x) + C für cos(x) > 0

Laut Lehrbuch ist die Lösung: G(x) = - ln |cos(x)| + C, was wohl dasselbe ist?!

Kommentar von Yakob ,

Dasselbe ist es nicht.

Aber die Aussage, dass z.B. die Stammfunktion von 1/x gleich ln(x)+C sei, ist eben nur die halbe Wahrheit (gültig für positive x). Wenn man gleich sagt, dass man ln(|x|)+C nehmen sollte, dann gilt dies auch für negative x. An der Stelle Null geht's natürlich nicht, weil da weder 1/x noch der Logarithmus definiert sind.

Kommentar von appletman ,

Im Bronstein habe ich eben die folgende Lösung gefunden:

Integral(tan(ax) dx) = - (1/a) * ln(cos(ax)),

und zwar ohne die Betragszeichen!

Bei dem Link unten allerdings mit Betragszeichen! Was gilt denn nun?

http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen

Antwort von psychironiker,

A. Richtig verstanden hast du das.

f(x) > 0 ist eine notwendige Bedingung, weil der ln für negative Argumente nicht definiert ist ( -> ln(f(x)) exsitiert nicht für f(x) ≤ 0)

B. Tief durchatmen, kein Panik:

Für das zu betrachtende Intervall D = ]-pi / 2; pi / 2[ ist "ganz zufällig" der cos überall positiv.

C. Die Zerlegung ist richtig. (cos(x))' = -sin(x) ist auch richtig.

| cos(x) | ist an seinen Nullstellen nicht differenzierbar ( "Ecke" im Graph) und hat also auch insbesondere nicht die Ableitung sin(x).

D. Ausweg:

(1) Mit

∫ tan(x)dx = ∫ (-1)² tan(x)dx = - ∫ - tan(x)dx;

bis du hast du das Vorzeichen, dass du zur Anwendung der Regel brauchst.

Kommentar von psychironiker ,

Die Wörter "bis du" in der letzten Zeile sind zuviel.

Antwort von Yakob,

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